∫1/sin^2xdx を求めよ。

質問

∫1/sin^2xdx を求めよ。
次のようにやりましたが、どこが間違っているか分かりません。
ご指摘ください。
∫1/sin^2xdx=∫{1/(1-cosx)(1+cosx)}dx
=(1/2)*{∫1/(1-cosx)dx+)+∫1/(1+cosx)dx}
=(1/4)*{∫1/sin^2(x/2)dx+∫1/cos^2(x/2)dx} x/2=tとおく。
=(1/2)*{∫1/sin^2tdt+∫1/cos^2tdt}
=(1/2)*{∫1/sin^2xdx+∫1/cos^2xdx}
よって、
(1/2)*∫1/sin^2xdx=(1/2)*∫1/cos^2xdx
∫1/sin^2xdx=∫1/cos^2xdx
=tanx
正解は-1/tanxなので、どこで間違ったのでしょうか。
よろしくおねがいします。

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

４行目から５行目の変数の書きかえが原因です。

例えば、

2∫xdx
=∫(2x)dx　t=2x とおいて、
=(1/2)∫tdt
=(1/2)∫xdx

とやってしまうと、∫xdx=0
が導かれてしまいます。

不定積分の過程での変数の書きかえに問題があるといえます。

お礼

定積分のときは、

2∫xdx
=∫(2x)dx　t=2x とおいて、
=(1/2)∫tdt
=(1/2)∫xdx
としてよいのですね。
不定積分のときはだめということですね。
ありがとうございます。

∫1/sin^2xdxの積分はどんなやり方があるでしょうか。

回答No.3

alice_44

質問文中のように、∫1/(cos^2 x)dx = tan x を既知として扱ってよいのなら、
x = (π/2) - y で置換積分して、
∫1/(sin^2 x)dx = ∫1/(cos^2 y)(-dy) = - tan y = -1/tan x で十分でしょう。

No.1 補足を見ると、
折角の No.1 が、解ったんだか、解らなかったんだか、よく判りません。
「どこで間違ったのでしょうか。」への回答は、あれが簡潔かつ十全だけれども。

お礼

ありがとうございます。
だめな箇所はわかりました。
そして、その理由もわかりました。
ご指摘の通り、回答者に対して、失礼しました。

回答No.2

info22_

>∫1/sin^2xdx
=∫(sin^2x+cos^2x)/sin^2xdx
=∫(1+cos^2x/sin^2x)dx
=∫-(cosx)'/sinx-cosx(1/sinx)'dx
=-∫(cosx/sinx)'dx
=-cosx/sinx+C
=-1/tanx +C

お礼

ありがとうございます。
三角関数は２乗の和が１これに注意をはらうということですね。
わかりました。