ロピタルの定理の問題が分かりません。

質問

ロピタルの定理を用いて、次の不定形の極限値を求めよ。
lim(x->0)(sinx-tanx)/x^3

と言う問題なのですが、計算すると
lim(x->0)((cosx)^3-1)/3x^2(cosx)^2=
lim(x->0)-(sinx)^2(cosx)^2/(2x(cosx)^2)-(x^2)sin2x=
lim(x->0)-sin2xcos2x/(cosx)^2-2xsin2x-(x^2)cos2x=
lim(x->0)-2cos4x/-3sin2x-6xcos2x+2(x^2)sin2x=
lim(x->0)2sin4x/3cos2x+4xsin2x+(x^2)cos2x=0
となってしまいます。
正解答は-1/2になるようなのですが、どなたかお教え下さい。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

ただ分子と分母の微分を繰り返すのがロピタルの定理ではない。
分子/分母が0/0型や∞/∞型の不定形であることを確認して微分しないといけない。極限が確定する項は極限値で置き換える。sin(x)/x→1もうまく使う。

lim(x->0)((cos(x))^3-1)/{3x^2*(cos(x))^2}
=(1/3)lim(x->0)((cos(x))^3-1)/x^2
=(1/3)lim(x->0)(3(cos(x))^2*(-sin(x))/(2x)
=-(1/2)lim(x->0)((cos(x))^2*sin(x)/x
=-(1/2)lim(x->0)sin(x)/x
=-1/2

お礼

良く分かりました。回答有難うございました。

回答No.1

ichiro-hot

○　もう１つ発想をのばして、
lim(x->0)(sinx-tanx)/x^3=lim(x->0)((cosx)^3-1)/3x^2(cosx)^2
のところで、もう一度定理が使えることに気づくと楽ですね。
自分ならこの後、次のようにします。
=lim(x->0)｛((cosx)^3-1)/3x^2｝・｛１/(cosx)^2｝
ここで、
lim(x->0)｛((cosx)^3-1)/3x^2｝
=lim(x->0)｛(-(3cosx)^2・sinｘ)/6x｝
=lim(x->0)｛(-(1/2）（cosx)^2・（sinｘ/x）｝
=-(1/2）
従って、
lim(x->0)｛((cosx)^3-1)/3x^2｝・｛１/(cosx)^2｝=-(1/2）
∴lim(x->0)(sinx-tanx)/x^3=-(1/2）

cosx→１なので｛１/(cosx)^2｝を別にして考えるようにしたところは工夫だし，
一度定理を使った後、(cosx)^3-1→０（ｘ→０）ということに気づくと，もう一度定理が使え、そうするとsinｘ/ｘが使えることに気づくのですが・・・

お礼

大変参考になりました。有難うございました。