極限について。（ロピタルの定理？）

質問

次の解が導出できません。

lim (d/dn)r^(n+2)=r^2*Logr
n→0

lim (d/dn)r^n=Logr
n→0

F=A*r^t*cos(tθ)＋B*r^t*sin(tθ)
Fにおいてt→０のとき
F=A*Logr＋B*Logθ

一番上はr^(2+n)を真中はr^2を極限にとばすみたいです。これはロピタルの定理なのでしょうか？まったく変形がわかりません。

一番下はロピタルの定理らしいのですがこれまたわかりません。

どなたかお願いします。あせってます。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の続きです。

> F=(d/dt){A*r^t*cos(tθ)＋B*r^t*sin(tθ)}
だとしてもロピタルは使う必要はありません。
この場合
(r^t)'={log(r)}r^t
という公式を使うだけです。

>Fにおいてt→０のとき
>F=A*Logr＋B*Logθ
これも間違いです。
正解は
F→Alog(r)+Bθ　(t→0)
ですね。

回答No.4

arrysthmia

ロピタルじゃなくて、
「代入」を使います。
連続な関数の lim ですから。

回答No.2

incd

1つ目と2つ目は、微分を先にすればn=0を代入できる形になるので、ロピタルの定理を使う必要はないです。微分には対数微分法を使います。あるいは、公式として f(x)=r^x の微分が、f'(x)=(r^x)*log(r) を覚えているのならそれを使ってもいいです。

3つ目は、そもそもt=0を代入できてしまう形なんですが、問題あっていますか？　求める極限はFではなくdF/dtではないですか？

回答No.1

info22

>これはロピタルの定理なのでしょうか？まったく変形がわかりません。
ロピタルは使いません。
公式：a^b=e^{blog(a)}
の公式を使えば難なく微分ができます。

r>0で
r^(2+n)=e^{(2+n)log(r)}
なので
d{r^(2+n)}/dn=d{(2+n)log(r)}/dn*e^{(2+n)log(r)}
={log(r)}*e^{(2+n)log(r)}→{log(r)}*e^{2log(r)}={log(r)}*r^2（n→0)

> (d/dn)r^n=Logr
(d/dn)r^n=(d/dn)e^{nlog(r)}=d{nlog(r)}/dn*e^{nlog(r)}
={log(r)}*e^{nlog(r)}={log(r)}r^n→{log(r)}r^0=log(r)

> F=A*r^t*cos(tθ)＋B*r^t*sin(tθ)
> Fにおいてt→０のとき
> F=A*Logr＋B*Logθ
あっていますか？
F=(d/dt){A*r^t*cos(tθ)＋B*r^t*sin(tθ)}
の間違いではないですか？