極限

質問

lim(x→∞) (x-sinx)/x という問題なのですが、まずロピタルの定理を用い、lim(x→∞) (1-cosx) となりました。
解答には１と書いてあったのですが、cos∞　がどうなるのかわかりません。どのように扱えば良いのでしょうか。

回答No.2

waseda2003

lim_(x→∞) (x-sin x)’/(x)’= lim_(x→∞) (1-cos x)
が収束しないということは，ロピタルの定理の仮定が
成り立たないということです。その時点で「おかしい」と
気づかなければなりません。

(x-sin x)/x = 1 -(sin x)/x，|sin x|≦1
より，１に収束することは容易に導けると思います。

ロピタルの定理は美しい定理ですが，意外と実用性が
低いということも覚えておくべきでしょう。
大学入試までの問題に限れば，ロピタルの定理を用い
るより簡単に解ける方法が必ずあります。
大学の教養レベルでも，テーラー展開により収束・発散
のオーダーを考える方が現実的です。
（微分するのは同じだと思われるかも知れませんが，
前提条件のチェックにわずらわされることがありません。）

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

ロピタルの出番はない。

(x - sin x)/x = 1 - (sin x / x) なので、一瞬で答えを得るだろう。

お礼

ありがとうございます。