極限値の求め方に関する疑問
- 質問者は、関数 f(x)=e^(-1/2)/x^2 において、lim[x→+0] f(x) を求めることに関する疑問を持っています。
- 質問者は対数を取り、ロピタルの定理を使用して lim[x→+0] f(x) を求めましたが、結果が矛盾していることに気づきました。
- 質問者は、(1)式からロピタルの定理によって(2)式を導出することに問題があるのか尋ねています。
- ベストアンサー
極限値
f(x)=e^(-1/2)/x^2 について、 lim[x→+0] f(x) が求まりません。 私はまず対数を取って、 logf(x)=-(2xlogx+1)/x ・・・ (1) 次にロピタルの定理より、 lim[x→+0] logf(x)=lim[x→+0] -2(logx+1)=+∞ ・・・ (2) ∴lim[x→+0] f(x)=e^(+∞)=+∞ このように解きました。 しかし、(1)式によれば、lim[x→+0] xlogx=0 より、lim[x→+0] logf(x)=-∞ 、 lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となってもよさそうなものです。(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる) 実際にy=f(x)をコンピュータでプロットした結果は、lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となりましたが、(1)式からロピタルの定理によって(2)式を導出することになんらかの問題があったのでしょうか? 繰り返しますが、(1)式からロピタルの定理を用いて lim[x→+0] f(x) を求められない問題について、質問致します。
- tetra_o
- お礼率72% (37/51)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数15
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>f(x)=(e^(-1/2))/x^2 なら lim[x→+0] f(x) = 0 >f(x)=e^((-1/2)/x^2) なら >私はまず対数を取って、 > logf(x)=-(2xlogx+1)/x ・・・ (1) ←間違い logf(x)=(-1/2)/x^2 ・・・ (1) lim[x→+0] log(f(x))= -∞ lim[x→+0] f(x)=e^(-∞) = 0 >f(x)=(e^(-1/x))/x^2 なら >私はまず対数を取って、 > logf(x)=-(2xlogx+1)/x ・・・ (1) >次にロピタルの定理より、 ロピタルの適用条件を満たしていないので、ここではロピタルの定理は使えません。 なので以下の計算はしても何の意味もありません(つまり間違い)。 > lim[x→+0] logf(x)=lim[x→+0] -2(logx+1)=+∞ ・・・ (2) > ∴lim[x→+0] f(x)=e^(+∞)=+∞ >しかし、(1)式によれば、lim[x→+0] xlogx=0 より、lim[x→+0] logf(x)=-∞ 、 lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となってもよさそうなものです。 よさそうではなく、そうなるべきです。 >(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる) 数学的に正しいです。極限をとること「lim[x→+0] x=0」はあくまでx≠0であってxを限りなく0に近づけることであって、xに0を代入することではありません。 >実際にy=f(x)をコンピュータでプロットした結果は、lim[x→+0] f(x) = e^(-∞) = 0 となりましたが、 >(1)式からロピタルの定理によって(2)式を導出することになんらかの問題があったのでしょうか? ロピタルの定理の前提となる適用条件を満たしていない、にも拘わらず、ロピタルの定理を適用したことに問題があります。 >繰り返しますが、(1)式からロピタルの定理を用いて lim[x→+0] f(x) を求められない問題について、質問致します。 ロピタルの適用条件 極限を取る際、関数の|分子|/|分母|が0/0型または∞/∞型の不定形であること。 今回のケースは (1)の分子の極限は「-1」,分母の極限は「+0」で関数の|分子|/|分母|が 1/0型で不定形条件を満たしていませんね。「ロピタルの定理の適用条件を満たしていないケースに、ロピタルの定理を適用した」ところに問題があったということです。
その他の回答 (2)
- NemurinekoNya
- ベストアンサー率50% (540/1073)
f(x) = e^(-1/x)/x^2 ならば、t = 1/xとおいて、 e^(-1/x)/x^2 = e^(-t)・t^2 = t^2/e^t x→+0ならばt→∞ t→∞のときの、t^2/e^tの極限を求める。 そして、ロピタルの定理を二回使う。 lim[t→∞] t^2/e^t = lim[t→∞] (2t)/e^t = lim[t→∞] 2/e^t = 0
お礼
f(x)の定義ミスについて、すいませんでした。(x) = e^(-1/x)/x^2で正しいです。酌量に感謝します。 logf(x)=-(2xlogx+1)/xではロピタルの定理が利用できないということでしたが、上手く置き換えることによって、利用できるように変形できるわけですね。勉強になりました。ありがとうございました。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
>f(x)=e^(-1/2)/x^2 について、 lim[x→+0] f(x) が求まりません。 f(x)=e^(-1/x)/x^2 の間違いですか
補足
すいません、そうでした。f(x)=e^(-1/2)/x^2ではなくf(x)=e^(-1/x)/x^2が正しいです。ご指摘ありがとうございました。
関連するQ&A
- 極限値について教えてください
ロピタルの定理を使って求めたいのですがどのようになりますか? 宜しくお願いします。 問1 lim tan(x) / sin2x 0→1 問2 lim x logx^2 0→+1
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値の問題がよく分かりません・・・
極限値の問題では(lim)どの時点で答えと決定してよいのか分かりません・・。何も変化させないままlimの下の数字を代入して、0/0ならロピタルの定理などを使って、答えを導くというのはなんとなく分かるのですが、何も変化させないままlimの下の数字を代入して、0/1や1/0になる時はそのまま答えを0として良いのでしょうか? (説明が下手でスイマセン・・・) また、 lim(X→0)X・logX の出し方が分かりません。 上の疑問と同じで、X・logXを何も変化しないまま0に近づけると(代入すると)答えは0になりますが、そのまま答えにして良いのでしょうか? それとも、logX/(1/X)に変化し、ロピタルの定理を使い、0と導くのでしょうか? どこで変化または微分(ロピタルの場合)をストップさせていいのかが、よく分かりません。 誰か教えて頂けないでしょうか? お願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題について質問です
極限の問題について質問です 教科書のロピタルの定理のセクションに載っていた問題です。 lim[x→0] ((1+x)^(1/x)-e)/x という極限を求めるのですが、答えは-e/2で、いくつかの参考書で確認しました。 しかし、どれも答えだけしかのっていないので、解き方がわからない状態です。 ロピタルの定理を使って分母分子を微分してみるのですが、何度ロピタルを使っても不定形になってしまい、 いつまでも答えの値がでないのです。 他になにか解き方が有るのでしょうか?ぜひ教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ロピタルでも解けない?極限lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x)
極限 lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x) を求めたいのですが、0/0型となります。 ロピタルの定理を用いて、分母分子をそれぞれ微分しようとしても、逆にややこしい式になります。 どのようにすれば解けるでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
まず、f(x)の定義ミスについて、すいませんでした。 なるほど、確かにlogf(x)=-(2xlogx+1)/xはロピタルの定理の適応条件を満たしていませんでした。うっかりです。 また、高校の教科書に載っている公式に、 lim[x→a] f(x)=α かつ lim[x→a] g(x)=β ならば lim[x→a] f(x)/g(x) = α/β (ただしβ≠0) というのがありまして、これと >(但しこの場合は(1)式右辺の分母について、lim[x→+0] x=0 より、数学的に正しくないと思われる) これを混同していたようです。ご指摘のとおり、あくまで0に近づけるんですよね、いやあ、分かってはいたつもりなのですが・・・・・・ ありがとうございました。