極限値

質問

1.lim(x→0)(1-cosx)/x^2
2.lim(x→0){1-cos(1-cosx)}/x^4

1. lim(x→0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)=1/2
2. x → 0 で 1-cos x → 0.
1-cos x = y とおくとx → 0 のとき y → 0 だから
(与式)=0

このような解き方で合っているのでしょうか？
間違っていたら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.6

kumipapa · ベストアンサー

＞「へっく」で引くかと思いやってみましたがもちろんダメでした。
ワロタ。私が悪かった。

分かりやすいかどうかわからないけど・・・
g(x) = {{1-cos(1-cosｘ)}/(1-cosｘ)^2}
h(x) = {(1-cosｘ)/x^2}^2

f(x) = g(x) h(x)

ｘ→0 のとき g(x) → ？　 #3,#4さんのご回答をよーく考える
x→0 のとき h(x) → ？　　１．の二乗

f(x) = g(x)h(x) で、g(x), h(x)は共に収束しますから
lim f(x) = (lim g(x)) (lim(h(x))
で 1/8 になる。

＞　これで1と同じ形になりましたがx→yになり、x→0ならばy→0となり、0となってしまいます。考え方のどの部分が違うのでしょうか？
これも正直笑った。1.と同じ形で０になるって、なんでやねん。

回答No.7

kumipapa

lim(x→0)(1-cosx)/x^2 = lim(x→0)(sinx/x)^2*1/(1+cosx)=1/2
てのは誰が解いたのですか？
この x が y に変わるだけで 0 になるとおっしゃる。ほーほー、してその心は？

補足

もちろん自分でやりましたよ！でもこの補足内容を見るとそう疑われても仕方がない…
頭が混乱してh(x) = {(1-cosｘ)/x^2}^2を『1』だと勝手に脳内変換してました。
おまけにx→yになった途端ただただyに0を代入してるし。。何もわかってない。
g(x) = {{1-cos(1-cosｘ)}/(1-cosｘ)^2}
1-cos x = y とおくとx→0のときy→0となるから
y→0でlim(1-cosy)/y^2これで1.と同じになるから1/2
h(x)=1/4より　1/2*1/4=1/8
本当自分がありえない間違いばかりしてました。
皆さんいろいろお手数かけました。ありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

お～い.
y → 0 のとき (1-cos y)/y^2 はいくつだ?

補足

0　だと思うのですが違うんですよね。
その間違いに気付けばわかると思うのですが…

回答No.4

Tacosan

y = 1 - cos x とします.
{1-cos(1-cosｘ)}/(1-cosｘ)^2}
は, y を使って書けますよね.

補足

以前回答していただいたのにわからずもう一度質問してしまいました。
すみません。
{1-cosｙ}/y^2}
これで1と同じ形になりましたがx→yになり、x→0ならばy→0となり、
0となってしまいます。考え方のどの部分が違うのでしょうか？
申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa

２
以前、「分母と分子に(1-cosx)^2 を・・・足す、じゃない・・・」まで教えたはずだが。冷やかしだとでも思ったのか、何も考えてないのねー。残念です。

補足

以前は回答ありがとうございました。
「へっく」で引くかと思いやってみましたがもちろんダメでした。
(1-cosx)^2を示していただいた時点でそれに気付かない私の理解不足でした。
以前の回答でANo.1さんがあとは簡単というとこまで示していただいたのに
わからない自分が情けないです。不快な思いをさせてしまいすみませんでした。

回答No.2

debut

２は、１を利用できるよう、lim(□→０)(１－cos□)/□^2の形
を作ればいいわけです。
この場合、□は１－cosｘなので、分母に□^2がくるように
分子と分母に(１－cosｘ)^2をかけます。

すると、
式は{{1-cos(1-cosｘ)}/(1-cosｘ)^2}{(1-cosｘ)/x^2}^2
というように、１のことを利用できるようになります。

補足

{(1-cosｘ)/x^2}^2とまとまることは理解できたのですが、
恥ずかしながら{{1-cos(1-cosｘ)}/(1-cosｘ)^2}の計算ができません。
x→0なのだから分母は0になるはずだし、ANo.1さんが書いてくださった
1/8にはなりません。アドバイスいただけませんか？お願いします。

回答No.1

info22

1
やり方、結果の1/2とも合っています。

2は間違いですね。極限は(1/8)になります。
色々やり方はあると思いますが２つの方法をお教えてあげます。

解法] 分子をマクローリン展開を利用し挟みうちする方法
(1/8)x^4-(1/48)x^6-x^8<{1-cos(1-cosx)}<(1/8)x^4
両辺をx^4で割ってx→0の極限を求める。

別解]　[1-cos{1-cos(x)}]/x^4＝
(1/4)*[sin{1-cos(x)}/{1-cos(x)}]^2
*[1/(1+cos{1-cos(x)})]*{sin(x/2)/(x/2)}^4)
と変形しx→0の極限を求める。