極限値の求め方教えてください。

質問

（１）lim_（ｘ→０）｛ｘ＾３／（ｘ-ｓｉｎｘ）｝
（2）lim_（ｘ→+∞）｛ｌｏｇ（ｘ+ｘ＾２）／√（1+ｘ＾３）｝
（3）lim_（ｘ→１-０）｛ｌｏｇ（ｃｏｓｘ）／ｌｏｇ（1-ｘ＾２）｝

答えがあるのですが解き方がわからないので、解説もお願いしたいです。

回答No.3

info22_

ロピタルの定理を使う。

（1）
lim_（ｘ→０）｛x^3／（x-sin x）｝
=lim_（ｘ→０）｛3x^2／（1-cosｘ）｝
=lim_（ｘ→０）6x／sinｘ
= 6

（2）
lim_（ｘ→+∞）｛log(x+x^2）／√(1+x^3）｝
=lim_（ｘ→+∞）｛(1+2x)/(x+x^2)}／{(1/2)(3x^2)（1+x^3)^(-1/2)｝
=lim_（ｘ→+∞）｛(1+2x)(1+x^3)^(1/2)}／{(1/2)(3x^2)(x+x^2)｝
=(2/3)lim_（ｘ→+∞）｛(1+2x)(1+x^3)^(1/2)}／{(x^3)(1+x)｝
=(2/3)lim_（ｘ→+∞）｛(2+(1/x))(1+(1/x^3))^(1/2)}／{(x^(3/2))(1+(1/x))｝
=(2/3)lim_（ｘ→+∞）2／(x^(3/2))
=0

（3）
lim_（ｘ→１-０）｛log（cosｘ）／log（1-x^2）｝
=lim_（ｘ→１-０）{log（cos1）}／log（1-x^2）
= 0

■（ｘ→１-０）は（ｘ→　-０）の間違いではないですか？
そうであれば

lim_（ｘ→ -０）｛log（cosｘ）／log（1-x^2）｝
=lim_（ｘ→ -０）{(-sin x)/(cos x)}／{(-2x)/(1-x^2)}
=(1/2)lim_（ｘ→ -０）{(sin x)/x}{(1-x^2)/(cos x)}
=(1/2)*1*(1-0)/1
=1/2

回答No.2

alice_44

ロビタルすら面倒くさい向きには、
分子分母の関数をテイラー展開する
という手があります。
log u はマクローリン展開できないので、
u = 1 を中心に展開するよう気をつけて。

回答No.1

Tacosan

何も考えたくないならとりあえずロピタル.

まあ (3) はロピタルも何もない (見た目で分かる) けど.