極限です。

質問

(1)lim(n→∞)3^(n-1)-4^(n+1)/2^(2n+3)+3^(n+2)
(2)lim(n→∞)(√(x^2+3x)+x) (3)lim(x→1)(1/(x^2+x-2)-1/2x^2-x-1)
(4)lim(x→3+0)9-x^2/√(3-x)^2
(5)lim(x→0)(1-cosx)sinx/x^3

この極限の問題が分かりません。
どなたか解説よろしくお願いいたします。

回答No.2

CygnusX1 · ベストアンサー

補足ありがとうございます。
しかし、
(2) どう考えても ∞ にしかならないような感じですが……

(4)
分母の √(3 - x)^2 = 3 - x となるんですが、√と二乗の意味は??
それから、 x→3+0 とはどういう意味
それらを無視して
(9 - x^2) / (3 - x)
= (3 - x) (3 + x) / (3 - x)
= 3 + x
lim(x→3) (3 + x) = 6

お礼

補足への回答、丁寧な説明有り難かったです。
もう一度やってみますね！
ありがとうございました。

回答No.1

CygnusX1

どこまでが分子で、分母で、ルートの中身なのか、分かりにくいです。
書き方に気をつけてください。また、問題は一行空けるなどしてください。

(1)
(3^(n - 1) - 4^(n + 1)) / (2^(2 n + 3) + 3^(n + 2))
分子分母を 4^n で割ります。
(3^(n - 1) / 4^n - 4) / (2^3 + 3^(n + 3) / 4^n)
((3/4)^n 3^(- 1) - 4) / (2^3 + (3/4)^n 3^3)
lim(n→∞) (3/4)^n →0
- 4 / 2^3 = - 1/2

(2) n はどこにあるのでしょうか??

(3)
1 / (x^2 + x - 2) - 1 / (2 x^2 -x - 1)
= 1 / ((x - 1) (x + 2)) - 1 / ((2 x + 1) (x - 1))
= ((2 x + 1) - (x + 2))/((x - 1) (x + 2) (2 x + 1))
= (x - 1) / ((x - 1) (x + 2) (2 x + 1))
= 1 / ((x + 2) (2 x + 1))
lim(x→1)(1 / ((x + 2) (2 x + 1))) = 1 / (3 * 3) = 1 / 9

(4) 式が分かりません

(5)
((1 - cosx) sinx) / x^3
= ((1 - ((cos(x/2))^2 - (sin(x/2))^2) sinx) / x^3
= 2 (sin(x/2))^2 sinx /x^3
lim x →0 で、sin(x/2) = x/2, sin(x) = x

2 (sin(x/2))^2 sinx /x^3 = 2 (x / 2)^2 x / x^3 = 1/2

補足

分かりにくくて大変申し訳ありませんでした。
(2)(4)なのですが、
(2)lim(x→∞)(√(x^2+3x)+x)

(4)lim(x→3+0)9-x^2/√(3-x)^2
↑このルートは(3-x)^2全てにかかっています。

以後気をつけます。