高校数学、極限値の計算の基本

質問

（問題）lim(x→０）（cosx-cosx^2)／（ｘ－ｘ＾２）を求めよ。
計算過程で、疑問があります。初心者なので、極限の基本についてです。（長文になってしまいました。ごめんなさい）

ｆ（ｘ）=cosxとすると、ｆ（ｘ）はすべての実数において微分可能で、ｆ‘（ｘ）＝-sinｘ
(ア）ｘ＜０のとき、
ｘ＜ｘ＾２のより、[x,x^2]において、平均値の定理を用いると、（cosx^2-cosx）／（ｘ＾２－ｘ）＝-sinθ１、ｘ＜θ１＜ｘ＾２を4みたすθ１が存在する。
(1)lim(x→ー０）ｘ＝lim(x→ー０）ｘ＾２＝０より、
lim(x→ー０）θ１＝０。
(2)lim（ｘ→ー０）（cosx^2-cosx）／（ｘ＾２－ｘ）＝lim(x→ー０）（－siｎθ１）＝－sin0=0と問題集の解答で書かれています。
（疑問）
(1)lim(x→ー０）ｘ＝lim(x→ー０）ｘ＾２＝０より、
lim(x→ー０）θ１＝０。についてはいわゆる挟み撃ちの定理によってlim(x→ー０）θ１＝０つまり、ｘをｘ＜０から０に近づけていった時のθ１の極限値は０ということです。
(2)そこで、本題のlim（ｘ→ー０）（cosx^2-cosx）／（ｘ＾２－ｘ）＝lim(x→ー０）（－siｎθ１）を考えるわけですが、私は(1)で
x→ー０としたとき、θ１は０に近づく、ということを求めたのですが、ここで、lim(x→ー０）（－siｎθ１）を考える際に、極限ではどちらから近付くかが違いを生むことがあると思って、わざわざθ１→ー０、および、θ１→＋０の場合を考えて、lim(x→ー０）（－siｎθ１）＝０としたのですが、これでよいのでしょうか？間違えなら、どう考えるのが一番良いのでしょうか?

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

f'(x) = sinxはx=0で連続だから、
f'(0) = lim[x→-0]f'(x) = lim[x→+0]f'(x)
が成立します。
だから、
lim[x→-0]f'(x)
だけを求めればいいというわけ。

問題集の解答は、言葉が足りないといえば、足りないのかもしれない。

質問者さんの解答でも、もちろん、OKです。

ただし、
0 < x
で、[x,x^2]とやったらダメです。
[x^2,x]でもケチがつきます。
ですから、
0 < x < 1として、
[x^2,x]とするのがいいのでしょうね。

お礼

ありがとうございました