極限値の計算の基本
- 高校数学、極限値の計算の基本についての質問です。問題と計算過程に疑問があります。
- 質問文章からはlim(x→０）（cosx-cosx^2)／（ｘ－ｘ＾２）の答えを求めるための計算過程や疑問が明確になっています。
- 文章中の疑問に対して、挟み撃ちの定理を使って極限値が0であることを求める方法を提案しています。
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高校数学、極限値の計算の基本
（問題）lim(x→０）（cosx-cosx^2)／（ｘ－ｘ＾２）を求めよ。 計算過程で、疑問があります。初心者なので、極限の基本についてです。（長文になってしまいました。ごめんなさい） ｆ（ｘ）=cosxとすると、ｆ（ｘ）はすべての実数において微分可能で、ｆ‘（ｘ）＝-sinｘ (ア）ｘ＜０のとき、 ｘ＜ｘ＾２のより、[x,x^2]において、平均値の定理を用いると、（cosx^2-cosx）／（ｘ＾２－ｘ）＝-sinθ１、ｘ＜θ１＜ｘ＾２を4みたすθ１が存在する。 (1)lim(x→ー０）ｘ＝lim(x→ー０）ｘ＾２＝０より、 lim(x→ー０）θ１＝０。 (2)lim（ｘ→ー０）（cosx^2-cosx）／（ｘ＾２－ｘ）＝lim(x→ー０）（－siｎθ１）＝－sin0=0と問題集の解答で書かれています。 （疑問） (1)lim(x→ー０）ｘ＝lim(x→ー０）ｘ＾２＝０より、 lim(x→ー０）θ１＝０。についてはいわゆる挟み撃ちの定理によってlim(x→ー０）θ１＝０つまり、ｘをｘ＜０から０に近づけていった時のθ１の極限値は０ということです。 (2)そこで、本題のlim（ｘ→ー０）（cosx^2-cosx）／（ｘ＾２－ｘ）＝lim(x→ー０）（－siｎθ１）を考えるわけですが、私は(1)で x→ー０としたとき、θ１は０に近づく、ということを求めたのですが、ここで、lim(x→ー０）（－siｎθ１）を考える際に、極限ではどちらから近付くかが違いを生むことがあると思って、わざわざθ１→ー０、および、θ１→＋０の場合を考えて、lim(x→ー０）（－siｎθ１）＝０としたのですが、これでよいのでしょうか？間違えなら、どう考えるのが一番良いのでしょうか?
- tjag
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f'(x) = sinxはx=0で連続だから、 f'(0) = lim[x→-0]f'(x) = lim[x→+0]f'(x) が成立します。 だから、 lim[x→-0]f'(x) だけを求めればいいというわけ。 問題集の解答は、言葉が足りないといえば、足りないのかもしれない。 質問者さんの解答でも、もちろん、OKです。 ただし、 0 < x で、[x,x^2]とやったらダメです。 [x^2,x]でもケチがつきます。 ですから、 0 < x < 1として、 [x^2,x]とするのがいいのでしょうね。
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