ロピタルの定理を用いた極限の問題

質問

前回、同じような質問をしたのですが途中の計算が理解出来なかったので質問させていただきます。
次の極限を求めよ
(4) lim[ｘ→∞] (logx)^n/x
(5) lim[x→0]　(1/x-cosx/sinx)
(6) lim[x→+0] x^x
ロピタルの定理を使って下さい。（途中式も出来れば）
お願いします。

回答No.5

alice_44

失礼。なんか重大な誤字が。

約分してから、ロピタルに持ち込むんですよ。
　↓
通分してから、ロピタルに持ち込むんですよ。

回答No.4

alice_44

(4) は、そう。
再び不定形になって、再びロピタルが使える
ということです。
2 回目のロピタルの結果は、書いてほしかったな。
2 回反復できれば、n 回反復もできるはずだから。

(5)(6) については、
変形してからロピタルを使えと
前回質問にも書いたし、今回 A No.1 にも書いた。
具体的な前処理も書いておいたでしょう？

(5) は、
(cos x)/(sin x) にロピタルを使うんじゃない。
(cos x)→1 だから、ロピタルが使える形じゃないし、
そこだけ変形しても、1/x が発散するから
∞-∞ 型の不定形になるだけです。
約分してから、ロピタルに持ち込むんですよ。

回答には、目を通してほしいな。

お礼

約分してから定理を使ったら解けました
毎度毎度有難うございました。
又、微分積分で分からない事があれば質問させて下さい

回答No.3

alice_44

ok. できてるじゃない。
貴方の導いた右辺が、再び、ロピタル適用可能な
極限になっていることは、理解できる？

理解できたら、その右辺にもう一度
ロピタルの定理を適用して、結果を補足へどうぞ。

それが、ロピタルを 2 回反復するということだ。

補足

不定形だから定理が使えるということですか？
教科書みたら(4)は結局0になることが分かりました
(5)はlim [x -> 0] sinx/cosx=0/1 となってしまいました
(6)はlim [x ->+ 0] logx/(1/x)
=lim[x ->+ 0] (1/x )/{(-1)/x^2} となりどうしていいか分かりません
定理に適用さえ出来ない次第です

回答No.2

alice_44

だから、ロピタルはやめとけって言うのに、
頑固だねえ。

ロピタルを使うと、考えないクセをつけるし、
迷信されてるほどには、計算が簡単にならない。

あれは、アホの子の道具だ。

どうしても使いたいなら、
単なる公式適用だから、自分でやってごらん。

lim[y→∞](yのn乗)/(eのy乗) に
ロピタルを 1 回使うと、どうなるか？

それを補足に書けば、反復使用がどうなるか
説明しましょう。

補足

頑固というかそういう指定の問題で…
(6)番でロピタル使って見ました
lim[y -> 無限] ny^n-1/e^y

回答No.1

alice_44

前回、方針だけで終わったので、
解答例も書いておこうかな。
もちろん、ロピタルじゃないほうの。

(4)
y = log x で置換すると、
lim[x→∞](log x)^n/x = lim[y→∞]y^n/e^y.

e^y をマクローリン展開すると
e^y = Σ[k=0→∞](1/k!)x^k で、
右辺は各項正だから、n+1 次項だけ取り出すと
e^y > (1/(n+1)!)y^(n+1).

よって、
0 < y^n/e^y < y^n/{(1/(n+1)!)y^(n+1)}
= {(n+1)!}/y → 0　; when y→∞.

よりハサミウチで、lim[y→∞]y^n/e^y = 0.

ロピタルを使うなら、
lim[y→∞]y^n/e^y に n 回反復して使う。

(5)
sin と cos のマクローリン近似
sin x = x - (1/6)x^3 + o(x^3),
cos x = 1 - (1/2)x^2 + o(x^2) を
与式を通分したものに代入すると、

1/x - (cos x)/(sin x) = {(sin x) - x(cos x)}/{x sin x}
= {(x - (1/6)x^3 + o(x^3)) - x(1 - (1/2)x^2 + o(x^2))}/{x(x - (1/6)x^3 + o(x^3))}
= {(1/3)x^3 + o(x^3)}/{x^2 - (1/6)x^4 + o(x^4)}
= {(1/3)x + o(x)}/{1 - (1/6)x^2 + o(x^2)}
→ 0　; when x→0.

よって、lim[x→0]{1/x - (cos x)/(sin x)} = 0.

ロピタルを使うなら、
lim[x→0]{(sin x) - x(cos x)}/{x sin x} に 2 回反復して使う。

(6)
lim[x→+0]x^x = lim[x→+0]e^(log(x^x))
= e^( lim[x→+0](x log x) ).

y = - log x で置換すると、
lim[x→+0](x log x) = lim[y→+∞](e^-y)(-y)
= - lim[y→+∞]y/(e^y).

これは、(1) の n = 1 の場合にあたり、
lim[y→+∞]y/(e^y) = 0.

よって、lim[x→+0]x^x = e^0 = 1.

ロピタルを使うなら、
lim[x→+0](x log x) = lim[x→+0](log x)/(1/x) に対して使う。

補足

反復して使うとどうなるかその過程まで書いて頂けたら幸いです
理解が遅くてすみません