ロピタルの定理

質問

ロピタルの定理を繰り返し適用する方法で求めよ。
lim[x→+∞]x^n/a^x（a＞1,nは自然数）

ロピタルの定理は何となくですが読めばわかるのですが、解き方がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

ロピタルの定理をｎ回使って分子分母をそれぞれn回微分すると
分子のx^nは
n!　（nの階乗：n(n-1)(n-2)…3・2・1）
になります。
分母のa^x=e^{xlog(a)}は
(a^x){log(a)}^n
になります。
したがって
[n!/{log(a)}^n]/a^x→0 …（定数）/∞形
となります。

お礼

ありがとうございます。
助かりました。

回答No.1

aquarius_hiro

ド・ロピタルの定理は大雑把に言って、

lim_{x→0} f(x)/g(x) = lim_{x→0} f'(x)/g'(x)

という定理です。

同様に、

lim_{x→∞} f(x)/g(x) = lim_{x→∞} f'(x)/g'(x)

も成立ちます。

問題に適用する場合は、どれがf(x)で、どれがg(x)かをきめて、それぞれ微分して、↑の右辺を求めます。その右辺を求めるときに、繰り返し定理を適用しても良いです（定理の前提が満たされることが必要ですが、それを書くのは面倒なので本をみてくださいね。）

お礼

ありがとうございます。
参考にさせて頂きました。