２変数関数のロピタルの定理

質問

lim x→0,y→0,{(x^5+y^6)/(x^4+y^4)}のを解いています。x,yを極座標表示してr→0でも解けそうですが、その方法はやるなと禁止されています。そこで、ロピタルの定理を思いついたのですが、２変数でのロピタルの定理の使い方がわかりません。
　分母、分子を両方偏微分してもロピタルの定理は成立するのでしょうか？それとも全微分しなければいけないのでしょうか？教えてくださいm(__)m

回答No.1

adinat · ベストアンサー

なぜ極座標変換が禁止されているのか理解に苦しみますが、2変数関数として上記極限がもし存在するのであれば、limを順番に取ることが許されます。したがって“もし、問題として与えられているならば”たとえばまずx→0としてみたらよいのです。そうすればy^2となって、あとはy→0とするだけです。あるいは先にy→0としてxが得られますから、これでx→0としても同じです。

偏微分でロピタルを使うとのことですが、それはそもそも不可能です。ロピタルの定理が使えるのは不定形極限になっているときのみであって、たとえばy≠0をとめてxで偏微分するという立場では、これは不定形極限になっていないのです。

おそらく意図されているのは、次のような解法であると思います。
(x^5+y^6)/(x^4+y^4)=x[x^4/(x^4+y^4)]+y^2[y^4/(x^4+y^4)]
と変形できて、[・・・]部分はともに1より小さい。よってx→0、y→0のとき0に収束する。という感じです。分子の各項が分母の各項より収束が早いことが一目で分かりますので、基本的にこういう変形を考えるのがよいと思います。