極限値について

質問

極限値についておしえてください。

(1)lim(n→∞)(√(n＾2+n+1)-n)
=lim((n＾2+n+1)-n＾2)/√(n＾2+n+1)+n)
=lim n+1/（√（n＾2+n+1)+n)
ここまでしかわかりません。

(2)lim(x→0) tanx-sinx/x＾3

tanx-sinx=(sin/cosx)-sinx
=(sinx-sinx cosx)/cosx
=(sinx(1-cosx))/cosx
より
(tanx-sinx)/x＾3
=(sinx(1-cosx))/x＾3(cosx)
=(1/cosx)・(sinx/x)・(1-cosx)/x＾2

ここまでしかわかりません

(3)lim(x→∞) x{log(2x+1)-log2x}
=xlog(2x+1/2x)
=log(1+(1/2x)＾2

ここまでしかわかりません

(4)
lim(x→1) [-x＾2+2x+2] ([　]はガウス記号）
ガウス記号についてはよくわからないのですが、
ガウス記号を考えないでとくと

-x＾2+2x+2
=-((x-1)＾2)+3

ここまでしかわかりません

ご親切におしえてください
おねがいします

回答No.2

mmky

ojamanboさんに代わって少しだけよ。
(1)
lim(n→∞) (1＋1/n)/√(1＋1/n＋1/n＾2)＋1
になったのですが、1/2にどうやってなるのかわかりません
（1/n）や(1/ｎ＾2)はｎを大きくしていけば、ゼロにちかずきますね。だから√1=1
lim(n→∞) (1＋0)/√(1＋0＋0)＋1
=1/1+1=1/2

(2)
分子分母に1＋cosxをかけたのですが、約分ができなくて複雑にナってしまいました

(2)lim(x→0) tanx-sinx/x＾3
(tanx-sinx)/x＾3=(sinx-cosx*sinx)/x＾3cosx
分子
(1+cosx)(sinx-cosx*sinx)=(sinx-cosx*sinx)+sinxcosx-cos＾2xsinx=sinx(1-cos＾2x)=sin＾3x
分母
x＾3cosx（1+cosx)=x＾3(cosx+cos＾2x)
lim(x→0) tanx-sinx/x＾3
=lim(x→0)sin＾3x/x＾3(cosx+cos＾2x)
(x→0)(cosx+cos＾2x)=2
lim(x→0)sin＾3x/x＾3=1　
；lim(x→0)sin＾x/x=1　と同じバージョンですね。
だから、
lim(x→0) (tanx-sinx)/x＾3=1/2
これちょっと難しいね。
tanx=sinx+(1/2)sin＾3x+(3/8)sin＾5x+・・・
に展開できることを知っていれば簡単だね。
(3)
何回確かめても
xlog　(2x＋1)/2x
=log(1＋1/2x)＾x
lim(1+1/x)＾x=e を使うんですね。微分の最初に出てきます。
2x=y と置けば、x=y/2 だから
=lim(x→0)log(1＋1/2x)＾x
=lim(y→0)log(1+1/y)＾(y/2)=log(e＾1/2)=1/2
ということでしょうかね。

回答No.1

noname#24477

ヒントだけ書きます。
（１）分母分子をｎで割る。（√の中はn^2で割る）
（２）１＋cosx　を分母分子に掛ける。
１－(cosｘ)^2　ができるので(sinx)^2　に直す。

（３）最後の式なんか変。たぶん^xのミス
（1+1/t)^t　の極限がｅになることを使う。

（４）ガウス記号はその数を越えない最大の整数。
ｘが１の近くでは、その式は３より小さいからガウスを付けると
２
ｘ＝１のとき３
ところでｘ→１というのはｘ＝１ではないよ、近づけるだけだよ、という注意を受けたはず。
ということで答は２（３じゃないよ）

補足

ヒントありがとうございます。
(1)
lim(n→∞) (1＋1/n)/√(1＋1/n＋1/n＾2)＋1
になったのですが、1/2にどうやってなるのかわかりません

(2)
分子分母に1＋cosxをかけたのですが、約分ができなくて複雑にナってしまいました

1＋cosx/1＋cos ・1/cosx・sinx/x・1-cosx/x＾2

(3)
何回確かめても
xlog　(2x＋1)/2x
=log(1＋1/2x)＾x

公式で
logax＾m=m・logax
より

(4)
ガウス記号についてよくわからないので、もうすこし具体的におしえてもらってもいいですか？
x=1のとき3ってどうやってわかるのですか？

お願いします