極限

質問

lim　　log ( 1 + sinx )　　　　　　　　　lim　　log ( 1 + sinx )　　sinx
　　　　－－－－－－－－－　＝　　　　　----------- ・　---　
x → 0　　　　　ｘ　　　　　　　　　　　　ｘ → 0　　　sinｘ　　　　　　ｘ

＝　1　×　1　＝　1

これの　sin / x はなぜ　1　になるんですか？　教えてください。

回答No.1

velvet-rope · ベストアンサー

x > 0で、xが0に十分近い時、
　sinx < x < tanx　(1)
が成り立ちますから、
　sinx / x < 1 < (sinx/x)/cosx　(2)
となります。
　1 < (sinx / x)/cosx　(3)
より
　cosx < sinx / x　(4)
(2)と(4)で
　cosx < sinx / x < 1
はさみうちの原理より x→+0 のとき
　sinx/x → 1
となります。

x < 0 のときは x を -x に置き換えれば同様です。

さて、(1)の不等式に疑問を持たれるかもしれませんが、それは図を書かなければなりません。
数学IIIの教科書にも載っているかと思いますが、半径1の扇形に、斜辺が1の直角三角形、底辺が1の直角三角形がぴったりくっついている図を書いてみれば(1)が成り立つことがわかります。

回答No.2

maku_x

lim(x→0) sin(x)/x = 1 の証明はこちらをご覧下さい。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/syoumei/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/syoumei/kyokugen-frac(sinx)(x).html