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極限
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x > 0で、xが0に十分近い時、 sinx < x < tanx (1) が成り立ちますから、 sinx / x < 1 < (sinx/x)/cosx (2) となります。 1 < (sinx / x)/cosx (3) より cosx < sinx / x (4) (2)と(4)で cosx < sinx / x < 1 はさみうちの原理より x→+0 のとき sinx/x → 1 となります。 x < 0 のときは x を -x に置き換えれば同様です。 さて、(1)の不等式に疑問を持たれるかもしれませんが、それは図を書かなければなりません。 数学IIIの教科書にも載っているかと思いますが、半径1の扇形に、斜辺が1の直角三角形、底辺が1の直角三角形がぴったりくっついている図を書いてみれば(1)が成り立つことがわかります。
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- maku_x
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lim(x→0) sin(x)/x = 1 の証明はこちらをご覧下さい。 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/syoumei/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/syoumei/kyokugen-frac(sinx)(x).html
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