極限について

質問

極限の問題で
lim(x→ー０) sinx / x
(x＝ーθとすると、ｘ→－０⇔θ→＋０）
＝lim(θ→＋０)　sin(ーθ) /　－θ
＝lim(θ→＋０)　ーsinθ　 / ーθ
＝lim(θ→＋０)　　sinθ　/ θ
＝１
とあるのですが、lim(θ→＋０)sinθ　/ θ　のθはlim(θ→＋０)より、プラスの方向から０に近づくから、分子のsinθはsin０＝０で分母も０になるから答えは１じゃなくて０になるんじゃないのでしょうか？
そもそもsinθのθが０になるとsin０＝０になるのがあまりよく納得していなくて、なんでなのでしょうか？三角関数の所を忘れてしまって・・
後cosθのθが０になるときcos０は何になるのでしょうか？
わかりにくくてすみません
（上の / は分数を表しています）

回答No.3

info22

f(θ)=sinθ/θ
はθ=0では分母が0ですのて定義できません。
f(0)は存在しません。
しかし
f(+0)やf(-0)は、f(0)ではありませんので定義できます。
sinθのθ=0における接線の傾きは1ですから
θ=+0でsinθ≒θになります。
つまり(sinθ)/θ→1(θ→+0)
という事です。
f(+0)=f(-0)=1ですが、f(0)は未定義で存在しません。

> 後cosθのθが０になるときcos０は何になるのでしょうか？
θ=0でcosθは連続ですから
cosθ（θ→+0) = cos θ(θ→-0) = cos 0 = 0
となります。

g(θ)=cosθ/θなら
g(+θ)=cosθ/θ(θ→+0) = +∞
g(-θ)=cosθ/θ(θ→-0) = -∞
g(0)は未定義ですね。

回答No.2

shiberian

lim(x->0)sinx/x=1ははさみうちの定理を使って証明される有名な公式です。

http://www.ies.co.jp/LoveMath/3rd_grade/LimSinX-j/LimSinX-j.html
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/syoumei/henkan.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/syoumei/kyokugen-frac(sinx)(x).html
証明などはこのサイトを見ると分かりやすいかと思います。

lim(θ->0)cosθ=1
lim(θ->0)cosθ/θ=∞
だと思います。
cosについてはsinのときのような公式はなかったと思います。

回答No.1

kesexyoki

分子も分母も0となるので、普通はこの極限は不定形ですが、定義的にlim(x→0)sinx/x=1と定めているのではなかったでしたっけ？
実数aに対しa^0=1とか、そういう（形式的な）定義って結構ありますよね。