極限の質問

質問

3x+4/(x+2)^2のx→-2のときの極限はー∞とあったんですが、よくわかりません。
解説
極限を出すだけであれば，
lim[x→-2](3x+4)=-2
lim[x→-2](x+2)^2=+0
よって
lim[x→-2](3x+4)/(x+2)^2=-∞
となります。

分子が-2で，分母がプラス側から0に収束するので，-∞となります。

教えてほしいところ
分子が-2で，分母がプラス側から0に収束するとー∞になるらしいんですが、理解できません。
誰かわかりやすく考えた方を省略せずに教えて下さい。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 分子が-2で，分母がプラス側から0に収束するとー∞になるらしいんですが、理解できません。
> 誰かわかりやすく考えた方を省略せずに教えて下さい。

こういうのは教えてもらうより、自分で実験してみる方が理解しやすいかもしれません。

3x+4/(x+2)^2のxに、-1.9や-1.99や-1.999等の数字を代入してみて下さい。
そうすると3x+4/(x+2)^2がどんな値になるか観察してみて下さい。
同様に、xに-2.1や-2.01、-2.001等の数字を代入して、どんな値になるか観察してみて下さい。

補足

期末試験で現実的な解き方ではないですね。
観察結果はすでに知っています。できれば、理屈を教えて下さい。

回答No.4

R_Earl

ANo.1です。

> 期末試験で現実的な解き方ではないですね。
> 観察結果はすでに知っています。できれば、理屈を教えて下さい。

質問文に「考え方を省略せずに教えて下さい」と書いてあったので、
省略せずに書いてみました。
今回の問題の解説の

> lim[x→-2](3x+4)=-2
> lim[x→-2](x+2)^2=+0
> よって
> lim[x→-2](3x+4)/(x+2)^2=-∞

の4行の中で省略されている考え方が、
ANo.1の回答文に書かれている「観察」です。

この方法が現実的な解き方では無いとお考えのようですが、
実は高校数学での極限の考え方が、
こういった観察を用いたものになっています。
例えば、x → +0の時に1/x → +∞になる事や
x → -0の時に1/x → -∞になる事は、
こういった観察から結論を得ています。
なのでこの観察がある意味極限分野の理屈であり、基本なんです。

最初から速く解く事を目指す必要はありません。
まずは遅くてもよいので、とにかく基本的な考え方に沿って
何度も何度も問題を解いてみましょう。
この基本を何度も反復していると、
そのうち極限に対する考え方も身についてくると思います。
逆に最初から速く解く事ばかり目指してこういった観察を怠っていると、
極限が何なのか分からなくなって、解けるはずの問題も解けなくなります。

極限の考え方が身についてくれば、自ずと解く速度も速くなりますし、
ちょっと難しい関数の極限の問題にも対応できるようになります
（特にガウス記号を使った関数の極限は、この基本ができていないと解けません）。
つまり、ちゃんとこの基本を身に着けていれば、
今回の問題の解説のように

> lim[x→-2](3x+4)=-2
> lim[x→-2](x+2)^2=+0
> よって
> lim[x→-2](3x+4)/(x+2)^2=-∞

のたった4行で極限を求める事ができるようになるんです。

ちょっと大変かもしれませんが、試しにやってみて下さい。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

R_Earlさんの補足に対する突っ込みになりますが。＾＾；
（R_Earlさん、おじゃまします）

＞期末試験で現実的な解き方ではないですね。
それであれば、自身で書いている
＞分子が-2で，分母がプラス側から0に収束するので，-∞となります。
が現実的な解き方です。

理屈を知りたいのであれば、
R_Earlさんが言われていることを踏まえてグラフを描いてみてください。
単純に言えば、「全体の値が負になっているから」とも言えなくはないですが。

問題を端的にすれば、
「f(x)＝ -1/x^2について、x→ 0としたときの極限を求めよ。」も同様です。

また、
f(x)＝ 1/xについて、x→ 0-0（左極限）と x→ 0+0（右極限）
を考えるときどう論じますか？

回答No.2

iwark

微分してみるといいかもしれません。

微分して、増減について確かめると、-2よりも小さいところでは減少、-2よりも大きいところでは、一定値までは増加を続けるため、-2が一番小さいということになります。

そこで-2/0という数は、そもそも実数では定義されないのですから、-∞に近づくということになります。