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数学(極限)について
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(問)lim x→2 (x^2+k)/(x-2)=5 を満たすkは存在するか。 #2さんがおっしゃるように解説も怪しいので，答を作ってみます。 分母x-2が0に近づくため，極限値が有限となるためには分子も0に近づく，すなわち， lim x→2 x^2+k→0でなければならない。4+k=0よりk=-4と決まる。 ところがk=-4を代入すると lim x→2 (x^2-4)/(x-2)= lim x→2 (x+2)(x-2)/(x-2)=lim x→2 (x+2)=4 となり，5にはなりえない。よって，そのようなkは存在しない。
その他の回答 (4)
昔，基礎解析や数学IIではそのような問題が扱われておりました。 >解説に《分母が0に近づくためx^2+k→0のとき収束する。》とありますが そのとおり。x→2 のとき x²+k→0 でなければ極限値 5 をもちません。したがって x²+k=0 x²=-k x は実数であるから k≦0 のとき極限値をもち x>0 のとき極限値をもたない 以上です。
お礼
ありがとうございました。
- FT56F001
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>分子が0に近づいても、0ではないので結局発散してしまうと考えてしまいます。 分子が0に近づく速さ，分母が0に近づく速さのバランスで， 0に収束する， 0でない有限の値に収束する， 無限大に発散する， の3通りがあります。 lim[x→0] (x^m)/(x^n)を，m>n，m=n，m<nの場合に分けて考えてみて下さい。
お礼
とてもわかりやすいです。 ありがとうございました。
細かい点ですけど、「分母が0に近づくためx^2+k→0のとき収束する」という解説はちょっと不正確です。 「分母が0に近づくためx^2+k→0のときのみ収束しうる」だったらいいですが。 その点おさえたら、考えればいい場合を限定できるというだけです。 後は、x=2での分母や分子の値はいったん置いといて、x≠2で関数がどんな値を持つか、それだけが問題です。
お礼
よくわかりました。 ありがとうございました。
- Tacosan
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「分子が0に近づいても、0ではないので結局発散してしまうと考えてしまいます」ということですが, 「0 ではない」と「結局発散してしまう」の間でどのように考えてしまうのでしょうか? 例えば x/x (x→0) を考えたときに, 同じように「分子が0に近づいても、0ではないので結局発散してしまう」と思いますか?
お礼
理解できました。 ありがとうございました。
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