数学(極限)について

質問

(問)lim x→2 x^2+k/x-2=5 を満たすkは存在するか。

解説に《分母が0に近づくためx^2+k→0のとき収束する。》とありますが、分子が0に近づいても、0ではないので結局発散してしまうと考えてしまいます。

なぜ、収束するのでしょうか？

回答No.5

FT56F001 · ベストアンサー

(問)lim x→2 (x^2+k)/(x-2)=5 を満たすkは存在するか。

#2さんがおっしゃるように解説も怪しいので，答を作ってみます。

分母x-2が0に近づくため，極限値が有限となるためには分子も0に近づく，すなわち，
lim x→2　x^2+k→0でなければならない。4+k=0よりk=-4と決まる。
ところがk=-4を代入すると
lim x→2 (x^2-4)/(x-2)=
lim x→2 (x+2)(x-2)/(x-2)=lim x→2 (x+2)=4
となり，5にはなりえない。よって，そのようなkは存在しない。

お礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.4

noname#157574

昔，基礎解析や数学IIではそのような問題が扱われておりました。
>解説に《分母が0に近づくためx^2+k→0のとき収束する。》とありますが
そのとおり。x→2 のとき x²+k→0 でなければ極限値 5 をもちません。したがって
x²+k=0　x²=-k　x は実数であるから k≦0 のとき極限値をもち x>0 のとき極限値をもたない
以上です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

FT56F001

>分子が0に近づいても、0ではないので結局発散してしまうと考えてしまいます。

分子が0に近づく速さ，分母が0に近づく速さのバランスで，
0に収束する，
0でない有限の値に収束する，
無限大に発散する，
の3通りがあります。
lim[x→0]　(x^m)/(x^n)を，m>n，m=n，m<nの場合に分けて考えてみて下さい。

お礼

とてもわかりやすいです。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#149500

細かい点ですけど、「分母が0に近づくためx^2+k→0のとき収束する」という解説はちょっと不正確です。
「分母が0に近づくためx^2+k→0のときのみ収束しうる」だったらいいですが。

その点おさえたら、考えればいい場合を限定できるというだけです。
後は、x=2での分母や分子の値はいったん置いといて、x≠2で関数がどんな値を持つか、それだけが問題です。

お礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「分子が0に近づいても、0ではないので結局発散してしまうと考えてしまいます」ということですが, 「0 ではない」と「結局発散してしまう」の間でどのように考えてしまうのでしょうか?

例えば
x/x (x→0)
を考えたときに, 同じように「分子が0に近づいても、0ではないので結局発散してしまう」と思いますか?

お礼

理解できました。
ありがとうございました。