極限値

質問

(1)　lim[n→∞]√(x+3)-√(x)/√(x+2)-√(x+1)

分子有理化をして、
分子分母に√(x+3)-√(x)をかけて、
lim[n→∞] 3 /{√(x+2)-√(x+1)}{√(x+3)-√(x)}

さらに分子分母をxで割りました。
3/∞になって０になります。

しかし、解答は３です。

(2)　数列{a_n}の極限値を求める。
a_n=1^2+2^2+…+n^2/n^3

こちらは全く分かりません。
分子分母をn^2で割りましたが、
なにも進みません…。

なにかヒントをお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1)
>(1)lim[n→∞]{√(x+3)-√(x)/√(x+2)-√(x+1)

lim[x→∞] {√(x+3)-√(x)}/{√(x+2)-√(x+1)}
分子分母に{√(x+3)+√(x)}{√(x+2)+√(x+1)}をかける。
=lim[x→∞] (3/1)*{√(x+2)+√(x+1)}/{√(x+3)+√(x)}
=lim[x→∞] 3*{√(1+(2/x))+√(1+(1/x))}/{√(1+(3/x))+1}
=3

(2)
公式Σ[k=1→n] k^2=1^2+2^2+…+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
を使って下さい。
a_n=(1^2+2^2+…+n^2)/n^3=(1/6){1+(1/n)}{2+(1/n)}→1/6 (n→∞)

回答No.3

info22

#2です。
A#2の単純ミスの訂正です。

＞　a_n=(1^2+2^2+…+n^2)/n^3
＞　=(1/6){1+(1/n)}{2+(1/n)}→1/6 (n→∞)
　　=(1/6){1+(1/n)}{2+(1/n)}→2/6=1/3 (n→∞)

お礼

ありがとうございました。
解けました！

回答No.1

debut

ｎ→∞はｘ→∞ですか？
分子と分母の両方を有理化してみてください。
あっ、有理化は「分子分母に√(x+3)-√(x)をかけて」
じゃないですよ。√(x+3)＋√(x)じゃないと。

＞a_n=1^2+2^2+…+n^2/n^3
は、a_n=(1^2+2^2+…+n^2)/n^3　ということですか？
それならば、Σk^2の公式で分子を違う形にしてみれば
いいのでは？

お礼

ありがとうございました。
Σk^2の公式を使ったら解けました！