[高校数学III]数列の極限値

質問

an=(-1)^n/n
の極限値を求めよ。

という問題ですが、自分は
(-1)^n/n=(-1)^n*1/n
lim[n->∞]1/n=0より
lim[n->∞]an=0
と解答したのですが、この解答で問題ないでしょうか？

数列が積の形に分割でき、その片方の極限が０に収束すれば、数列全体の極限も０に収束すると言えるのかどうか、いまいち分からず困っています。

ちなみに模範解答は
-1≦(-1)^n≦1
をnで割って挟みうちの原理を使っています。

回答No.2

rfiosrjf · ベストアンサー

私も以前経験した疑問です。

其の問題の場合は、(-1)^nの極限が存在しているかどうかを問うているような式なので、
(-1)^nの存在に触れずにそのまま{(-1)^n}/n → 0としては好ましくないかも知れません。

教科書を読むと、極限の性質でlim[n→∞]a_n = α、lim[n→∞]b_n = βに収束するとき、
lim[n→∞] a_n・b_n = αβ
と書いてありますよね。然し、この式は「a_n, b_nが共に有限な極限値が存在した時」に限定しています。
ですから、(-1)^nの有限な極限値が存在するかどうかを書かなくてはいけません。
(1/nは有限な極限値0に収束しますけどね;)

この場合は、挟み撃ちの原理を使っても良いですし、奇数と偶数で場合分けをして、
n = 2m (mは整数)の時、(-1)^n = {(-1)^2}^m = 1なので、
lim[n→∞] {(-1)^n}/n = lim[n→∞] 1/n = 0
n = 2m + 1 (mは整数)の時、(-1)^n = {(-1)^2}^m・(-1) = -1なので、
lim[n→∞] {(-1)^n}/n = lim[n→∞] -1/n = 0
従って――としても良いと思います。

お礼

有難うございました。
別解も参考になりました。

回答No.3

info22

こういった問題では
a_nの絶対値をとって、それがゼロに収束することを示せば、
絶対値を取る前のanもゼロに収束するということを利用して
収束値0を得ます。

つまり
lim[n->∞]|a_n|=lim[n->∞] |((-1)^n)/n|
=lim[n->∞] |((-1)^n)|/n
=lim[n->∞] 1/n =0

　∴lim[n->∞] a_n=lim[n->∞] ((-1)^n)/n =0

と解答すれば良いと思います。

これは
a_n = limit[t->∞] cos(at)/(1+t) =0
などでも同じ論法が使えます。

お礼

有難うございました。

回答No.1

f272

これだけではまずいよね。
> 数列が積の形に分割でき
例えばa[n]=n*(1/n)
> その片方の極限が０に収束すれば
lim(1/n)=0
> 数列全体の極限も０に収束する
そうであるとは限りません。
lim(a[n])=1

お礼

有難うございました。
反例を挙げて頂いてよく分かりました。