複素数や極限について

質問

先日、初めて複素数や極限を習いましたが
授業自体が学校の授業ではあったものの少し特殊で
全くついて行けず、板書とプリントをノートに書き写すだけで終わりました。

で、質問は
複素数に出てくるcos, sin, θ
極限に出てくるf(x)に関してです。

極限は一部因数分解の知識を使うところがあったので、そこぐらいは分かった物の
それ以外はほぼほぼ分からず
疑問を先生に聞いたところで、説明をされても、その説明さえ理解できないレベルです。

ただ、問題の解説や途中式を見ていて思ったのですが

cos,sin,θ,f(x)に意味は無いのでしょうか？

こういう書き方をするとニュアンスが違ってしまうと思うのですが
その前の三角関数からつまづいており（三角関数→ベクトル→複素数→極限の順で習いました）

三角関数だとcos30°はいくつとか計算しますよね。
cosは底辺/斜辺とか、sinは高さ/斜辺とか。

この意味は複素数に出てくるcosやsinも同じ意味を持っているのでしょうか？

問題の途中式から結果まで数字が1個も出てこないとか普通にあったので
分数になって分子に1が来るとか、2乗だからという意味でcos2θとかなるのは除いて。

最後までずっとcos,sin,θ,iだけで終わったりして
答えも数字では無いので、違和感があり、気になったので質問しました。

後、上記で意味は無いのでしょうか？と書いたのはcos,sin,θよりも
ここから書くf(x)について、かなりそう思っているところはあるのですが
問題などにfがあったらこれは関数だという判断だけに使うものであって
fにはあまり意味が無いというように見えたのですが
違いますか？

中学の数学ぐらいしか分かりませんが（高校では因数分解・展開の残りの公式とか、√のところをやったぐらいで中退しました）

中学で習った範囲で、これと意味というか、捉え方が一緒というものがあったらそれを例に出していただけると分かりやすくて助かります。

例えばy=xという感じで。
（xは知ってるけど、yが急に登場するようになったら、ｙってどういうことだか分からないですよね？だから捉え方としてはｘと同じだよと言われると、私だったら分かりやすいです）

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

三角関数についていえば、複素関数における三角関数は、三角比とは関係ないと思っていた方がよいです。

複素関数においては、sin(x) や cos(x) の x が複素数になるわけで、もともと、「辺の長さ」という概念とは相容れなくなります。
ただし、実数も複素数の部分集合なので、x が実数の時には、見慣れたsin() や cos() と同じ結果になります。

むしろ、複素関数の範囲では、
sin(x) を微分すると、cos(x) になる。
cos(x) を微分すると、-sin(x) になる。
その他、以前に学んだ、三角関数の公式がなりたつ。
そういう性質を持った関数だと、割り切った方が、まだ理解しやすくなると思います。

数学全般についていえば、高校以前は、「こういう関数はこういう計算法補で計算する。あるいは、この関数はこの長さとこの長さをこう組み合わせて計算する」という形で、関数を決定して、具体的に数字を入れて計算してみるというイメージがあります。
複素関数論などになると、むしろ、「こういう性質を持った関数を sin(x) と置く」というニュアンスの方が強くなります。
だから、数字を代入して計算して式の変形を確かめるというよりも、「この関数は、この関数とこういう計算をすると、こうなるから、こういう変形をする」という流れになります。

これは、三角関数にしても、「辺と角の関係」であったものが、「微分したらこういう形で表される関係を表現したもの」（たとえば、振り子の振動や波の動きは、微分方程式というもので表されて、それをとくと、sin や cos がでてきたりします）
また、こういう「抽象化」によって、目に見える三角形というものしか問題にできなかったのが、目に見えない電気やら力やら、あるいは、時間だとか空間だとか、そういうものを取り扱えるようになるわけです。

この流れで、関数の形（つまり、計算方法）を最初に決めて、計算してみるということではなく、f(x)という関数の持つ性質をいろいろと研究し（f(x)の変化の様子が分かるとか、f(x) が、「ここまでしか大きくならない」という上限が見つかるとか）これから、f(x)の姿にたどり着いたりします。
だから、最初は、f(x)が単なる記号（中身はこれから調べるわけですから）に見えるのです。

お礼

回答ありがとうございます。

ものすごい分かりやすかったです。
助かります。

回答No.4

uen_sap

複素数と三角関数は使い方によっては関連がありますが、片方がわかれば片方がわかる、と言うものではありません。
複素数は字義通り、二つの要素を持つ数ですので、実数を横軸に、虚数を縦軸にした平面（ガウス平面）にあらわすと理解が容易と言われています。
長さdの線分が原点をに一端を置き原点を中心に回転できるものとします。x軸の正軸からの回転角度をθとすると、x=d*cos(θ), y=d*sin(θ)と表記されますが、それぞれxは実部をy部は虚部をあらわすことができます。即、この複素数は x+iyですので、三角関数と結びつくことのなります。
三角関数は三角関数であって、三角形とは少し縁切りして扱わないとわけがわからなくなりますよ。

お礼

回答ありがとうございます。

cosやsinは三角関数だけで出てくるものではないんだというような考えが頭から離れなかったもので。
ある程度切り離して考えたいと思います。

回答No.2

papabeatles

一度にたくさんのことを質問されても困ります。
複素数だけ説明します。
　どんな数でも二乗すると正の数になりますよね。－２×ー２は４です。
でも二乗してー４になる数を発見した人がいるのです。子供に話したらそんな数を発見するから迷惑すると言われましたが・・・・・
　その数が複素数で２iで表します。後は普通の数と全く同じです。足し算も掛け算も自由にできます。

お礼

回答ありがとうございます。
色々質問してしまいすみません。

ただ、回答いただいた内容が質問と合致しておりません。

回答No.1

shintaro-2

>この意味は複素数に出てくるcosやsinも同じ意味を持っているのでしょうか？

同じです
ただ、応用として複素数とSin、Cosを波動を扱う分野に使うと、例えば、例えば電気電子の分野ではとっても便利になります。

>問題などにfがあったらこれは関数だという判断だけに使うものであって
>fにはあまり意味が無いというように見えたのですが
>違いますか？

そういうことです。
式が＊＊＊＊の関数と表現するのが面倒だから、問題文中でｆ（ｘ）とかｇ（ｘ）と表現するだけの話です。

>例えばy=xという感じで。

ｙ＝ｘならｘとｙが同じですが
それは対応関係を示しているのであって、
普通はｙ＝ａｘで
例えば、お風呂の水をｘ分出していたら、ｙリットルの水が出たとか、ｙｃｍお湯がたまったとか、直線のグラフが描けるものです。

お礼

回答ありがとうございます。

y=xに関しては、一応説明を書いたので大丈夫かと思ったのですが
ｘとｙが同じ数であるという意味では無く
同じ意味を持っているという事を伝えたく、書きました。

中学数学でｘだけで足りなくなって、ｙが出てくる事がありますが
基本的にはｘと同じ意味でｙを使いますよね？