関数の極限について

質問

見辛くて申し訳ないです。
lim　(cosx -1)/(xsinx)
x→0

の極限を求める問題なのですが。
(sinx)/x　→1 (x→0)と
(1+cosx)/x^2 →1/2 (x→0)を使って解くと
(cosx-1)/xsinx=(cosx-1+1-1)/xsinxの変形から-∞になるのですが、
解答は
両辺に1-cosxを掛けて分子を(sinx)^2にして-1/2となっていて
どうしても答えが合いません。
（解答にあわせた解法で解いても納得できません）
どうすると-1/2に収束するのか教えて下さい。

回答No.2

abyss-sym · ベストアンサー

＞(1+cosx)/x^2 →1/2 (x→0)を使って解くと
とありますがこうはなりません。
(1+cosx)/x^2 →∞ (x→0) が正しいと思います。

解答は1+cosxを掛けて,
(cosx-1)(cosx+1)/(cosx+1)xsinx
さらに変形して
-sin^2x/(cosx+1)xsinx=(-sinx/x)(1/cosx+1)
x→0として
-1×1/2=-1/2 となります。

お礼

1-cosx/x^2だと1/2に収束ですよね。
勘違いしてたみたいです、すみませんでした。
説明どうもありがとうございました。

回答No.1

chicken_man

掛けるのは(1+cosx)の間違いではないですか？

そうすると分子が(cosx)^2-1=-(sinx)^2
分母が(1+cosx)xsinx となります。

よって分子分母のsinxが消えて
-lim (sinx)/x(1+cosx) となります。
x→0

そうすると(sinx)/x　→1 (x→0)
1/(1+cosx)　→1/2 (x→0)

マイナスが付いてるので答えは-1/2に収束します。

お礼

すみません、1+cosx掛けるんでした(汗
説明どうもありがとうございます。
これでもう一度やってみます。