極限値の問題です。

質問

lim (1-sin2x)^1/x
x→0

分子分母に(1-sin2x)^-1/x　をかけたりしてみたのですが、答えに辿りつけませんでした。
ちなみに答えは、1/(e^2)らしいです。

お願いします。

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

(1+t)^(1/t)の極限がｅになることを使う。
[{(1-sin2x）^(-1/sin2x)}^(-sin2x/2x)]^2

お礼

ここでeの定義を用いるとは気づきませんでした・
納得です。どうもありがとうございましたっ！！

回答No.5

noname#24477

極限値を求めるのに微分を使うのは「禁じ手」になることが
多いです。（レベルにもよりますが）

特にsinｘなど三角関数の絡んだ極限値を求めるときにはそうです。
これはsinxの微分にsinx/xの極限を使うので循環論法に
陥る可能性があるためです。

お礼

はいっ。心得ましたっ！！
どうもありがとうございます。
また、よろしくお願いします。

回答No.4

mmky

#1のsiegmund先生の回答出てますので余計とは思いますが、＃2のojamanboさんのやりかたについて少し正確に。参考程度のみ

lim[x→0] (1-sin2x)^1/x
t=-sin2x, 1/x =(1/t)*(t/x),
x→0, t→0
lim[x→0](1-sin2x)^1/x
=lim[x,t→0]{(1+t)＾(1/t)*(t/x)}
=lim[x,t→0]{(1+t)＾(1/t)}＾(t/x)
lim[t→0]{(1+t)＾(1/t)}=e
lim[x,t→0](t/x)=lim[x→0](-sin2x/x)=-2
lim[x→0](1-sin2x)^1/x=e＾-2=1/e＾2
ということでしょうかね。
註：sin2x=(2x)-(2x)＾3/3!+(2x)＾5/5!+・・・

お礼

くわしく説明して頂いて、どうもありがとうございました☆
助かりました～。
また、機会があればよろしくお願いします。

回答No.2

siegmund

No.1 の siegmund です．
しまった，かっこをつけそこなった．

log{1-sin(2x)^(1/x)}は
log{[1-sin(2x)]^(1/x)} と訂正してください．

お礼

親切にどうもありがとうございます。

回答No.1

siegmund

問題の式の log をとって
log{1-sin(2x)^(1/x)}
　　= (1/x) log{1 - sin(2x)}
　　= (1/x) log{1 - (2x) + (1/3!)(2x)^2 - ・・・}
　　= (1/x) {- 2x + 2x^2 + ・・・ }
　　=> -2
したがって，もとの式の極限値は
　　e^(/2) = 1/e^2

お礼

ありがとうございましたっ☆
とりあえず、logを取ってから、マクローリン展開すれば良いんですね。
受験真近なのでまた質問すると思いますが、機会があればまたよろしくお願いします。