極限の問題～なぜ思いつくのか～

質問

lim(x→-∞)4^x/3^x+2^xをもとめる問題で分子分母を2^xで割ればすぐ0と答えが出てくることは回答を見てわかりましたが、なぜ思いつくのでしょうか。一般的には分母の最大の次数でわれとかいろいろ言われますし、この問題は2^x以外の4^x,3^xなども考えてしまうのですが・・・

どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

mis_take · ベストアンサー

> 一般的には分母の最大の次数でわれ
・そうすると，「分母が０でない有限の値に収束する」からです。

lim(x→-∞)4^x/3^x+2^x
=lim(t→∞){4^(-t)}/{3^(-t)+2^(-t)}
=lim(t→∞){(1/4)^t}/{(1/3)^t+(1/2)^t}
と考えると，やはり分母で最大の要因の(1/2)^t で割って，「分母が０以外の値に収束する」ようにしています。

補足

ありがとうございました。お蔭様でりかいできました。

ところでno1の方が言っているやり方でやっても解けるのでしょうか？僕には解けないような気がしてしまいますが・・・・・・

回答No.5

mis_take

> ところでno1の方が言っているやり方でやっても解けるのでしょうか？

x→-∞ のとき
a>1 ならば a^x→0
0<a<1 ならば a^x→∞
なので
1/{(3/4)^x+(2/4)^x}→1/∞=0
(4/3)^x/{1+(2/3)^x}→0/∞=0
(4/2)^x/{(3/2)^x+1}→0/1=0

単純に計算して，∞/∞，0/0 になるときは不定形といい，値がわかりません。変形して値がわかるようにします。
【0/∞,a/∞ になるときは 0 です。】
a/0 になるときは，分母がプラスかマイナスかどちらかの値のみをとって 0 に近づく時は，+∞または-∞になります（「収束する」とは言わずに「確定する」と言います）。
分母がプラス，マイナス両方の値をとりながら 0 に近づく時は確定もしません。

回答No.4

kkkk2222

lim(x→-∞)(4^x)/((3^x)+(2^x))　　　(1)

一番多いののはx→+∞
次は　　　　　　　x→0
そして　　　　　　x→-∞

解法には
泥臭い方法＜なにか＜かにか＜ＳＭＡＲＴな解法
訓練でＳＭＡＲＴな解法にちかづけます

私が解くとしたら＜泥臭い方法＞になります
lim(x→∞)　［1/(4^x)］/［(1/(3^x))+(1/(2^x))］　　　(2)
P=［(3^x)*(2^x)］/［(4^x)*((3^x)+(2^x))］
　=(6^x)/((12^x)+(8^x))
　=(1/2)^x/(1+(2/3)^x)→0
試験場ならこれで終ですが、学習中なら別解を考えるでしょう

lim(x→-∞)(4^x)/((3^x)+(2^x))　　　(1)
Q=(4^x)/((3^x)+(2^x)
1/Q=((3^x)+(2^x))/4^x)
　　 =(3/4)^x+(1/2)^x→∞
ということはQ→0

それなら始めから
lim(x→-∞)(4^x)/((3^x)+(2^x))　　　(1)
P=(4^x)/((3^x)+(2^x))
=1/((3/4)^x)+((1/2)^x)→0

つまり(3/4)^x→∞、(1/2)^x→∞にきがつかなかっただけ
これが結論です

残念ながら貴殿の解法にはたどり着けなかったけど、普通にやって出来るということです
貴殿の解法はＳＭＡＲＴではあるが超ＳＭＡＲＴでは？？

無理に貴殿の解法を理由付けすることは、おそらく可能でしょうが
自分が思いつけないことを・・・
ためしにやってみましたが3^xで割ってもできる
2^xで割るのが見やすい、だけのようです　　　　　ＥＯＦ

回答No.2

kiyocchi50

数学の問題を解いていて、皆が思う事でしょう。
「こんな解法なんて思いつくわけ無いじゃん！」
って。
ですが、数学の基本的な解き方を覚えれば、それを応用したり、いろいろ実験を繰り返すうちに「センス」が身に付いてきます。
確かに、解法を覚えなければ解けないような問題も存在しますが、そういうものは少ないです。
もし、思いつかないのであれば、基礎知識の不足か、演習量が足りないのかもしれませんね。

回答No.1

fool_ish

どこまでが分子で，どこまでが分母かわかるように，
括弧を用いてきちんと表記すること．
いまの表記では
(4/3)^x + 2^x
にしか見えない．

さて，
> この問題は2^x以外の4^x,3^xなども考えてしまう
とあるが，考えたらよい．実際，4^xで割っても解けるであろう．