極限値を求める問題の解法を教えてください。

質問

高校数学で、極限値を求める問題の質問です。
(1)
lim(√x^2+3x) - x
x→-∞
※カッコ内は全てルートがかかっています。
(2)
lim((e^3x)-1) / sin5x
x→0

上の二問がわかりません。
(1)については、
lim(√x^2+3x) - x
x→-∞

lim((√x^2+3x) - x) * ((√x^2+3x) + x) / ((√x^2+3x) + x)
x→-∞

lim 3x / ((√x^2+3x) + x)
x→-∞

分子・分母に1/xをかける。

lim 3 / (√1+3/x) + 1
x→-∞

= 2/3

と自分なりに解いてみたのですが、答えは∞となっていて誤答でした。
(2)については解き方が皆目見当もつきません。
簡単な問題なのかもしれませんが、どうか極限値の求め方をご教示ください。
(答えだけでなく、途中式が知りたいです。)

回答No.4

kiha181-tubasa · ベストアンサー

あなたの計算の中で
lim 3x / ((√x^2+3x) + x)
x→-∞
分子・分母に1/xをかける。
lim 3 / (√1+3/x) + 1
x→-∞
とありますが，（次が重要，よく間違いやすいところ）
「x→-∞」なので，ｘ＜０です。したがって，
x=ー√x^2
です。だから分子・分母に1/xをかけたあとは
lim 3 / -(√1+3/x) + 1
x→-∞
となり，分母は限りなく+0に近づきます。

それ以前に
(√x^2+3x) - x＝√x^2(1+3/x) - x=√x^2√(1+3/x)-x=-x√(1+3/x)-x=-x(√(1+3/x)+1)
と変形し，-x→∞，√(1+3/x)+1→2 となることから，極限は無限大と結論する方法が基本的だと思います。

（２）については，θ→０のときsinθ/θ→１，x→０のとき(e^x-1)/x→１なる定理を使います。係数合をわせればＯＫですね。

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

info33

(1)
lim[x→-∞] {(√x^2+3x) - x}
(x= -1/t)
=lim[t→+0] {(√1/t^2-3/t) +1/t}
=lim[t→+0] {(√(1-3t)) +1}/t
=2/(+0)= +∞

(2)
lim[x→0] ((e^3x)-1) / sin(5x) (0/0型)
=lim[x→0] ((e^3x)-1)/(5x) * im[x→0] (5x)/ sin5x
=lim[x→0] ((e^3x)-1)/(5x) * 1 (0/0型)
(ロピタルの定理)
=lim[x→0] ((e^3x)-1)' /(5x)'
=lim[x→0] ((3e^3x) / 5
=(3/5) e^0 = 3/5

お礼

ありがとうございます

回答No.2

asuncion

(2)
lim((e^3x)-1) / sin5x
x→0

分母・分子をともに微分してみる。
(分子)' = 3e^(3x)
(分母)' = 5cos(5x)
x→0のとき(分子)' → 3, (分母)' → 5より、
求める極限値は3/5

お礼

ありがとうございます

回答No.1

asuncion

(1)
lim(√x^2+3x) - x
x→-∞

t = -xとおく。x → -∞のとき、t → ∞
与式 =
lim(√((-t)^2-3t) + t) =
t→∞
lim(√(t^2-3t) + t) =
t→∞
lim(t√(1 - 3/t) + t)
t→∞
根号の中は限りなく1に近づくので、
与式 =
lim(t + t)
t→∞
= ∞

お礼

ありがとうございます