極限値を求める問題です。

質問

次の極限値を求めよ。

lim(x,y)→(1,1) (x-1)^3+(y-1)^3/(x-1)^2+(y-1)^2

(x-1)^3+(y-1)^3が分子で
(x-1)^2+(y-1)^2が分母です。

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

∀ε>0
∃δ(0<δ<min(ε/2,1))
∀(x,y)(0<√{(x-1)^2+(y-1)^2}<δ)
r=√{(x-1)^2+(y-1)^2}
とすると
0<r^2=(x-1)^2+(y-1)^2
{(x-1)/r}^2+{(y-1)/r}^2=1
だから
(x-1)/r=cost
(y-1)/r=sint
となるtが存在する
|{(x-1)^3+(y-1)^3}/{(x-1)^2+(y-1)^2}|
=|(rcost)^3+(rsint)^3/r^2|
=|r^3{(cost)^3+(sint)^3}/r^2|
=|r{(cost)^3+(sint)^3}|
≦2r<2δ<ε
∴
lim_{(x,y)→(1,1)}{(x-1)^3+(y-1)^3}/{(x-1)^2+(y-1)^2}
=lim_{r→0}r{(cost)^3+(sint)^3}
=0