極限に完全な不定形はあり得ますよね?
- lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) の極限を求めたいのですが、x=y方向から (x, y) → (0,0)の時、√|xy| / √(x^2+y^2)の接線が定まらない事は何となく理解できるのですが…
- x=yの条件下では、分子も分母も同時に0になり、lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0/0…不定形
- x≠yの条件下では、分子(積)が分母(二乗和)より先に0になるので、im[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0
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極限に完全な不定形はあり得ますよね?
お世話になります、以下の極限の問題で行き詰まり困っております。 皆様のお知恵をご教授願います。 lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) の極限を求めたいのですが、 x=y方向から (x, y) → (0,0)の時、√|xy| / √(x^2+y^2)の接線が定まらない事は何となく理解できるのですが… x=yの条件下では、分子も分母も同時に0になり、 lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0/0…不定形 x≠yの条件下では、分子(積)が分母(二乗和)より先に0になるので、 im[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0 以上の2通りが解になると考えても良いのでしょうか? ご指導願います。
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> x=yの条件下では、分子も分母も同時に0になり、 > > lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0/0…不定形 そもそも「不定形」は解ではありません。 そのままの状態では極限値が求められないのが「不定形」です。 だから「不定形」となった場合は、何とか式変形をして極限値が求まる形にし、 ちゃんと極限値を求めるんです。「不定形」と答えません。 「不定形」と答えてしまうとそれは、 「まだ計算途中で、極限値が求まっていません」と答えているのと 同じ事になってしまいます。 ちなみにx = yの条件化だと lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) = lim[x,y→0] √(x^2) / √(x^2+x^2) = lim[x,y→0] √(x^2) / √(2x^2) = lim[x,y→0] √(x^2) / {√2√(x^2)} となって、分子分母の√x^2が約分されるので 極限値が1/√2と求まります。 > x≠yの条件下では、分子(積)が分母(二乗和)より先に0になるので、 > > lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0 これも違います。 分子の方が先に0になったとしても、0に収束するとは限りません。 例えばlim[n → 0] (2n)/(3n)は分子の方が0に近づくのが早いですが、 極限値は2/3です。 > 以上の2通りが解になると考えても良いのでしょうか? 場合によって極限値が変わる時は「極限値無し」が答えです。 ちなみにlim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2)の求め方に関してですが、 この手のタイプの極限値はx = rcosθ、y = rsinθと極形式に直して r → 0の極限を考えると良いです。 そうするとこの極限値は(0, 0)へ近づける時の角度によって値が変わる事が分かります (つまり極限値は無し)。
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お礼
色々と自分の極限に関する認識の間違いを気づけました…orz ありがとう御座います!
補足
的確なご指導、ありがとう御座います。 簡単に考えすぎていました…orz 試行錯誤の中で、極座標も考えていたのですが、 x=rcosθ ,y=rsinθ ,(x,y)→0ならばr→0 lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =lim[r→0] √|r^2cosθsinθ| / √r^2(cos^2θ+sin^2θ) =lim[r→0] √r^2| cosθsinθ| / √r^2 =lim[r→0] r√| cosθsinθ| / r =lim[r→0] √| cosθsinθ| …(1) となって、x/r=cosθ ,y/r=sinθ ,r= √(x^2+y^2)より、 =lim[r→0] √| cosθsinθ| lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2)と元に戻ってしまったのですよ… (1)から元に戻さず、 “lim[r→0] √| cosθsinθ|よりθにより値が変化するので、極限値なし“ とすればよかったんですね。