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２変数の極限で、x,yが0へ近づく速度について
- 質問者は、２変数の極限で、xとyが0へ近づく速度について疑問を持っています。
- 具体的には、xがyに先行して0になる場合と、yがxに先行して0になる場合について考えています。
- また、同時に0になる場合についても理解できていません。
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>lim[(x,y)→0] √|xy|/√(x^2+y^2)に関して、 近づける方向によって極限値が異なるので「極限値は存在しない」ですね。 x=r*cosθ,y=r*sinθで置換すると lim[(x,y)→(0,0)] √|xy|/√(x^2+y^2)=√|sin(2θ)|/√2 θによって極限値が異なりますね。 >(1)xがyに先行して0になる場合、0/y=0 >(2)yがxに先行して0になる場合、0/x=0ですが、 これはOKです。 (1)は上のθ=π/2,3π/2の場合に相当します。 (2)は上のθ=0,πの場合に相当します。 >(3)同時に0になる場合が解りません… >普通に考えると0/0ですが、分母が0になってしまいます。 こう考えてはダメですね。 上に書いたように(x,y)→(0,0)の近づけ方により異なるので つまり、x軸とのなす角θを保ちながら y=xtanθを保ちながら (x,y)→(0,0)とすると考えればx,yを同時にゼロに近づけられます（r→0）。 すると 極限値は {√sin(2θ)}/√2 (θ=0～2π)となります θに依存するので極限値が存在しないことになりますね。 >同時に0となる例として、x=yの時を考えますと、 >lim[x→+0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→+0] |x|/(x√2)=1/√2 間違い。 lim[x→+0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→+0] |x|/(|x|√2)=1/√2 >lim[x→-0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→-0] |x|/(x√2)=-1/√2 間違い。 lim[x→-0] √|x^2|/√(2x^2)=lim[x→-0] |x|/(|x|√2)=1/√2 >左右の極限値が一致しません。 計算間違いしてるのでこの結論は間違いです。 >ってことは極限値がないので、解は”ｘとｙが同時に0にならない場合は極限値=0、同時に0となる場合は極限値が存在しない。”とすればよいのでしょうか？ (0,0)に近づける方向による極限値は {√sin(2θ)}/√2 となります。 方向によって異なるので、こういう場合は極限値の定義により「極限値は存在しない」と します。
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- Tacosan
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「どのような近づきかたをしても同じ値になる」場合に「極限値が存在する」といいます. でも, その「x=yのとき」は多分間違ってる. どちらの極限も 1/√2 じゃない?
お礼
>>その「x=yのとき」は多分間違ってる. どちらの極限も 1/√2 じゃない? その通りでした…orz ご指摘、ありがとう御座います。
- R_Earl
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√(2x^2) = x√2という変形が間違いです。 xが負の数の時、この変形ができません。 例えばx = -2等で試してみてください。 xが実数の場合、正しい変形は√(2x^2) = |x|√2となります。 > ってことは極限値がないので、解は”ｘとｙが同時に0にならない場合は極限値=0、同時に0となる場合は極限値が存在しない。”とすればよいのでしょうか？ 場合分けは必要ありません。 収束の仕方によって極限値が異なるなら、 答えは「極限値無し」とすれば良いです。
お礼
先日に続きお世話になり、ありがとう御座います。 >>正しい変形は√(2x^2) = |x|√2となります。 ケアレスミスしてしまいました…自分の考えに近い結果になれば、ミスに気づけないものですね…
お礼
いつもながら的確なご指導、ありがとう御座います、info22_さん。 すごく分かり易いです。 一応、極座標も考えたのですが、cosθやsinθもr→0の影響を受けると考えてしまったのです。例えばsinθ=y/rでr→0⇒(ｘ,ｙ)→0であり、結局x=yの条件ではsinθ=y/rのｒとx=yが同時に0となり、r→0における極限値は0/0になるんじゃないかと… >>x軸とのなす角θを保ちながら y=xtanθを保ちながら(x,y)→(0,0)とする おおまかに内容は理解できたと思いますが、一度じっくり考察して見ます。 ありがとう御座いました！