多変数関数の極限についてです。ｘ＝rcosθ、ｙ＝rsinθとおいてｒ

質問

多変数関数の極限についてです。ｘ＝rcosθ、ｙ＝rsinθとおいてｒ→０のとき極限がθに依ってしまうので極限を持たない、という主張はよくわかるのですが、そのように置いて極限値を持つことを示すという説明をしている本があったのですが、それは正しいのでしょうか？その置き方では「どんな方向から近づいても」ということにはならないですよね。

回答No.5

alice_44

←No/4 補足

あれ？ A No.3 は読まなかったのかな。
その条件も、反例も、書いといたよ。
コメントも No.3 は飛ばしたようだが…

回答No.4

Tacosan

その関数では #3 の通りで, θ に関係なく r→0 のとき 0 なので収束する, ということになります. ただ, #3 にある
lim[(x,y)→(0,0)] rθ
については, もとの (x, y で書いた) 関数がわからんので判断保留.

補足

何度もありがとうございます。いろいろ考えましたが、結局「直線上を原点に近づく近づき方で調べた結果の極限値の有無は、極限の定義「どんな近づき方をしても…」と同値ではあり得ない」と思いました。ただ、いくつかの本に、直線上を原点に近づく近づき方をして、極限があったら、それで(0,0)での極限が求まったように書いてあるので、なにか条件が整っていればそういう議論も成り立つのかなぁ、などと思っています。その条件を知りたいと思います。よろしくお願いします。

一応、同値ではない証拠を書きます。f(x,y)=(x^2)y/(x^4+y^2).x=rcosθ,y=rsinθと置いてr→０とするとf→０ですが、y＝mx^2と置いてx→０とすると収束しません。

回答No.3

alice_44

ああ、そうか。そうですね。
r→0 のとき θ が有界でないような近づき方を考えると、
A No.2 では不十分でした。貴方の言うとおり。

例：　lim[(x,y)→(0,0)] rθ
θ を任意有限値に固定して r→0 とすると
θ の値に関わりなく 0 に収束するが、
r→0 と同時に θ→∞ となるように
ビュンビュン回しながら近づけると
0 収束とは限らない(不定形)。

No.1 補足の例は、(sinθ)(cosθ) が有界だから、
上手くゆくんですね。

回答No.2

alice_44

いや、だから…
r→0 の極限が収束して、しかも
その値が θ に依らないことを、
(x,y)→(0,0) の極限が収束する
と言うのだから。
その例は、定義に忠実で、何の問題もないでしょう。

r→0 が収束しても、その値が θ に依存していれば、
上の定義にかなわないので、「収束しない」
ということになるのです。

補足

えと、極限の定義は「どんな近づき方をしても一定有限値に収束する」だと思います。関数によってはy＝ax^2に沿って原点に近づくことで、はじめて極限が存在しないことが分かるものもあるのではないでしょうか。x＝rcosθ、y＝rsinθでは、原点にθの角の直線上で近づくのですよね。これでは「どんな近づき方をしても」ということにはならないのではないか、というのが質問の趣旨なのです。どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan

その「極限値を持つ」というのがどういう状況なのかわからないと, ちょっとこれだけでは何とも言えないです.
どういう関数に対してこのようにおいて, どうなったから「極限を持つ」といっているのか, 可能であれば書いてもらえませんか?

補足

ありがとうございます。たとえば、f(x,y)＝xy／sqrt（x^2+y^2)で、x＝rcosθ、y＝rsinθをして、r→０のときf(rcosθ、rsinθ）→０（挟み撃ちの原理なんかを使って）。よってlim（x→０，y→０）＝０。この問題はこのような置き換えをしなくてもできますが、某書にこれで解答とされていたのです。で、ちょっとおかしいかな、と思ったわけです。よろしくお願いします。