関数の極限
杉浦光夫「解析演習」42ページ～43ページの例題 2.17(3)です。
次の関数の R^2 における連続性を調べよ.
f(x, y) = (x^2)y/(x^4 + y^2) ((x, y) ≠ 0 のとき)
f(x, y) = 0 ((x, y) = 0 のとき)
[解答]では
(a, b) ≠ (0, 0) となるすべての点 (a, b) で f(x, y) が連続関数となることはすぐわかる.
原点 (a, b) = (0, 0) における連続性を調べるため, 極座標表示 x = rcosθ, y = rsinθ を利用する.
すなわち, g(r) = f(rcosθ, rsinθ) とおき, r → +0 のとき, θ に関係なく g(r) → f(0, 0) = 0 となるかどうかを確かめればよい.
g(r) = r(sinθ)(cos^2(θ))/((r^2)cos^4(θ) + sin^2(θ)) より, R^2 上連続である.
とかかれています。
質問のひとつめは,「θ に関係なく」の意味です。
0 ≦ θ ＜ 2π の範囲にある θ を任意にひとつ取って固定するという意味でしょうか。
それなら, r → +0 のとき g(r) → 0 となるのは納得できます。
質問のふたつめは,
θ を固定した場合に r → +0 のとき g(r) → 0 になれば, (x, y) → 0 のとき f(x, y) → 0 がいえたことになるのでしょうか。
θ を固定すると近づけ方は限定され, (x, y) → 0 のとき f(x, y) → 0 がいえたことにならないと思います。
