力学の問題について教えてください

質問

鉛直断面が放物線をしたなめらかな曲面がある。
座標軸を水平にｘ軸、鉛直上向きにｙ軸と取る時、ｘ－ｙ平面上でのこの曲面の方程式は、
y=x^2であるとする。
いま、この曲面が一定の加速度αでｘ軸の負方向に走る列車内にあるとして、
質点が曲面に対して静止しつづける位置を求めよ。
ただし、重力加速度の大きさをｇとする。

この問題の解き方を教えてください。

つり合いの式をたてて、垂直抗力をRとすると、Rsinθ=mα、Rcosθ=mg
とすればいいということは分かるのですが、この先どう計算していけばよいのでしょうか？

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。

＞仮に斜面として考えてみました。
＞斜面の場合は、ｘ軸、ｙ軸は、斜めにとればいいですよね。
＞斜面に沿った向きで。
それでも構いませんが、もとの座標系と混乱しないように注意しないとだめですね。

単純に、接線方向に対するつり合いの式を立てればよいです。
　αcosθ=mgsinθ

この式だけで十分です。

θは位置によって変わる。言い換えれば、θは xの関数として与えられます。
関数というよりは、関係式という方がわかりやすいかも。
接線の傾きは y '＝ 2xと表されます。
この直線と x軸がなす角をθを用いて表すと 2x＝(θの関数)となります。

つり合いの式となす角の式を組み合わせれば、x座標が求められます。

何が物理量を決める要素になっているかをしっかりと見極めていかないといけません。
加速度：αに対して位置が決まるということは、位置によって変わる量があるということです。
そして、それは角度が変わっているということになります。

もし斜面が一定の角度であれば、αの方がある値に決まってしまいます。

補足

回答ありがとうございました。
計１時間ほど考えた結果やっと分かりました。

y'=2xは傾きなので、2x=tanθ

つり合いの式から、mαcosθ=mgsinθとなって、

x=α/2gと答が得られました。

答えは合っていますが、やり方は間違ってはいないですよね？

回答No.9

uen_sap

質点が　y=x^2にあることを使う

θをどうとるかは、明記がありませんが、この式を見る限りでは
tan(π-θ)=dy/dx=2*x

これを連立させれば良い

回答No.8

tawashi8

＞このやり方は、斜面を転がる運動でも使えますか？

すみませんが、自分は教授などではないのでそこまで自信持って教えられません。（汗）

斜面を転がる運動とはどういう設問に対してなのか分かりませんが、たぶん大丈夫だとは思います。今回は曲面上の物体で座標によって垂直抗力の向きと大きさが変化するので、座標と抗力の向きの関係を示すためにgradを取りました。物理の問題というより、ベクトルの向きと大きさだけに着目してました。斜面上の場合は抗力の向きと大きさは一定なのでgradを取る必要性があまり無い気がしますが、こういうやり方でも問題無いと思います。

では、解析力学の勉強を頑張ってください

回答No.7

hitokotonusi

そんなに難しく考えなくても

＞Rsinθ=mα、Rcosθ=mg

が出てるんですから，辺辺割り算をして

tanθ=α/g

曲線の傾きがこれを満たすθの時につりあうってことですから，
傾きがdy/dx=2xであることを考えれば

dy/dx = 2x = tanθ = α/g

から

x = α/2g

回答No.6

tawashi8

我ながら変な解き方でやってしまいましたが、まあ参考程度に・・・

要するにこの曲線上の任意の点の法線方向の抗力と、慣性力と重力との合力が釣り合えば良いんですよね。

各基底ベクトルのx軸方向をi、y軸方向jとし、この曲線を与える方程式をφ(x,y)＝y-x＾２とおきます。この曲線の勾配は∇φ＝j-2xiとなって、これは曲線上での法線ベクトルです。重力はベクトルで表すと-mgj、慣性力はmαiとなり、この２つのベクトルの合成（合力）が法線ベクトルj-2xiに等しければ良い。よってj-2xi＝-mgj+mαiとなって、各成分に分けると

｛1＝-mg
｛-2x＝mα

この連立方程式からｍを消去すると、x＝α/2gとなって質量ｍに依存しない式が導き出せました

補足

なるほど。
そういうやり方もあるんですね。
gradをとるやり方は初めて知りました。
角度を気にしなくていいので、間違わなさそうでいいですね。

こういう束縛された運動を扱う時は、これは使えそうですね。
このやり方は、斜面を転がる運動でも使えますか？

回答No.5

naniwacchi

#4です。

#3の補足どおりでいいです。
加速度の大きさが大きくなれば、それに比例して x座標も大きくなる。
これは、傾斜角が大きくなることで釣り合っているということを意味しています。

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞θというものは、Rを垂直成分と水平成分に分解するために、自分で勝手に作りました。
いやいや、それではダメですよ。
どこの角度をおいたのか理解していないと、垂直抗力に関する式も無意味になります。

問題を二段階に分けてみるとどうでしょうか？
1) 水平面(x軸)となす角がθである斜面において、質点が静止している条件とは？
2) 放物面(放物線)では、上記の角度が位置(x座標)によって変わる。そのことを接線を用いて考えると？

高校数学の範囲で解けますよ。

補足

仮に斜面として考えてみました。
斜面の場合は、ｘ軸、ｙ軸は、斜めにとればいいですよね。
斜面に沿った向きで。

それで、水平軸と斜面との間の角度をθとおくと、
ｘ軸のつり合いの式が、αcosθ=mgsinθ
y軸のつり合いの式が、αsinθ+mgcosθ=R
となったのですが、この式ってあってますでしょうか？
そこから先が分からないです。どうやってｘ＝の形にすればいいのか。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

垂直抗力でもいいですが放物線の接線方向で考えると、
「つり合い」ということが的確に表されます。

ところで、θとはどのような量を表していますか？
問題文中には現れていないので、なにかの「角度」を置いていると思いますが。
その角度と「接線」ということに注目してみてください。

補足

実はこの問題は解析力学の仮想仕事の原理を勉強している中で出てきたものなのですが、普通の力学で解くとどのように解法すればいいのか気になって質問しました。

θというものは、Rを垂直成分と水平成分に分解するために、自分で勝手に作りました。

どのようにといて行けばいいのでしょうか？
思いつきません。
y=x^2という関係をどのように式に組み込めばいいのでしょうか？

回答No.1

DJ-Potato

gとαの合成したベクトルが放物線に垂直に当たるところ、にはならないですかね。

補足

gとαの合成したベクトルが放物線に垂直に当たるところなのかよく分かりませんが、答は、x=α/2g, y=(α/2g)^2となるはずなのです。

一体どのような流れで解いていけばいいのでしょうか？

y=x^2という関係式を式のどの部分に入れればいいのかが
分からないです。