力学の課題

質問

明日提出の力学の課題でどうしてもわからない問題があるので、どうやって解くのか教えてください。

(1)平面曲線（放物線）y=x^2に沿って、一定の速さVで運動している質点Pの速さと加速度を直角座標系（x-y座標）、平面極座標（r-φ座標）、軌道座標系（s(t-n座標)）で表せ。

(2)半径aの滑らかな球面の頂点に質量ｍの物体を乗せ、水平方向に初速v0で物体を滑らせるとき、この物体の速度、垂直抗力を求め、さらにこの物体はどこで球面を離れるか示せ。なお、質点と球の中心を結ぶ直線が鉛直線となす角θで、質点の位置を表し、重力加速度をｇとする。

(3)一平面内で下記の軌道を描く質点に働く中心力はどんな力か示せ。

r=a(1+c・cosφ)
ただし0<c<1

この3つがどんだけ考えても、わからないんです。。
どれか1つでもいいので、教えてください！
よろしくお願いします！

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

(3)　中心力のポテンシャルU(r)は、次式で表される。
　　U(r)＝E-M^2/(2mr^4)・{f(r)^2+r2}
　　ただし、m：質点の質量、M：質点の角運動量、E：エネルギ、f(r)=dr/dφ

　ここで、r=a(1+c・cosφ)、0<c<1なので、
　　f(r)＝-ac・sinφ＝-ac・[±√{2r/a-(r/a)^2}]
なので、これを上のポテンシャルの式に代入すると、
　　U(r)＝E-M^2/(mr^3)
を得る。
　一般に、ポテンシャルはr→∞でU(r)→0とするので、その習慣に習うと、
　　U(r)＝-M^2/(mr^3)
となる。
　中心力Frは、これを-rで微分すると得られ、
　　Fr＝3M^2/(mr^4)
を得る。

　ここで、質点の角運動量と質量は未知なので、3M^2/m＝αと置くことにすれば、この中心力は、
　　Fr＝α/r^4
と表され、距離の４乗に反比例する引力であるといえる。

　ちなみに、この軌道曲線は、リマソン（蝸牛線)と呼ばれ、次のような形状をしている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E8%9D%B8%E7%89%9B%E5%BD%A2

　なお、軌道から中心力のポテンシャルを求める方法については、以下のサイトに詳述されていますので、参考にしてください。

http://www.phys.sci.kobe-u.ac.jp/~sonoda/basic_07/notes/ch1-1.pdfの5ページ（§1.1.2)。
http://www.phys.sci.kobe-u.ac.jp/~sonoda/basic_07/notes/ch1-3.pdfの1ページ（§1.3)

お礼

全部の問題に答えていただいて、ありがとうございます！！
大変、助かりました！！
わざわざ、大事な時間を割いていただいて、ほんとうにありがとうございます！

回答No.2

Mr_Holland

(2)　頂点を原点として、鉛直上方に＋ｙ軸、物体の初速の方向を＋ｘ軸にとり、球面に沿った頂点からの長さをｓとし、物体の速さをvとする。（θは頂点のときをθ＝０にとる。）
　このときの座標の対応関係は次の通り。
　　x=asinθ、y=a(cosθ-1)　　　　　　　　　・・・(A)
　　ds^2=dx^2+dy^2, sinθ=-dy/ds, cosθ=dx/ds, ds=adθ　　　・・・(B)
　　dx/dt=(dx/ds)(ds/dt)=v(dx/ds), dx/ds=d(asinθ)/(adθ)=cosθ　　　　　　・・・(C)
　　dy/dt=(dy/ds)(ds/dt)=v(dy/ds), dy/ds=d{a(cosθ-1)}/(adθ)=-sinθ　　　　　　・・・(D)
　　d^2x/dt^2=(dv/dt)(dx/ds)+v^2(d^2x/ds^2)　　　・・・(E)
　　d^2y/dt^2=(dv/dt)(dy/ds)+v^2(d^2y/ds^2)　　　・・・(F)
　　d^2x/ds^2=(d/ds)(dx/ds)=d(cosθ)/ds=(dθ/ds)d(cosθ)/dθ=-sinθ/a　　　・・・(G)
　　d^2y/ds^2=(d/ds)(dy/ds)=d(-sinθ)/ds=(dθ/ds)d(-sinθ)/dθ=-cosθ/a　　　・・・(H)

　物体の垂直抗力をＳとすると、次のように運動方程式が立てられる。
　　m(d^2x/dt^2)＝Ssinθ＝-S(dy/ds)　　　　　　・・・(I)
　　m(d^2y/dt^2)＝-mg+Scosθ＝-mg+S(dx/ds)　　・・・(J)

　式(I),(J)に式(E),(F)を代入。
　　v(dx/ds)+v^2(d^2x/ds^2)＝-S(dy/ds)　　　　・・・(K)
　　v(dy/ds)+v^2(d^2y/ds^2)＝-mg+S(dx/ds)　　　　・・・(L)

　ところで、式(B)より、
　　(dx/dt)^2+(dy/dt)^2＝1　　　　・・・(M)
　また、これを時間ｔで微分して、
　　(dx/dt)(d^2x/dt^2)+(dy/dt)(d^2y/dt^2)＝0　　　　・・・(N)
を得る。

　この関係を使用して、式(K)×(dx/ds)＋式(L)×(dy/ds)を求めると、
　　dv/dt＝-g(dy/ds)
　両辺にv=ds/dtとかけて、
　　v(dv/dt)＝-g(dy/ds)(ds/dt)
　この微分方程式を初期条件：y=0,v=v0で解くと、
　　v^2=v0^2-2gy
　∴v=√{v0^2-2ag(cosθ-1)}　　　　・・・(O)
を得る。

　また、式(M),(N)の関係を利用して、式(K)×(-dy/ds)＋式(L)×(dx/ds)を求めると、
　　v^2{(dx/ds)(d^2y/ds^2)-(dy/ds)(d^2x/ds^2)}＝S/m-g(dx/ds)
　この式に、式(O),(C),(D),(G),(H)を代入して、Sについてθで表すと、次式を得る。
　∴S＝3mg[cosθ-{2/3+v0^2/(3ag)}]　　　　・・・(P)

　さて、物体が球面から離れるのは垂直抗力Ｓ＞０のときなので、式(P)から、そのときの鉛直線となす角θは、
　　θ＝arccos{2/3+v0^2/(3ag)}
となる。

　また、このときの速度は、式(O)から、
　　ｖ＝√(v0^2/3+2ag/3)
と得る。

回答No.1

Mr_Holland

長くなるので、設問ごとに分割します。

(1)
(a) 直交座標系
　点Pの座標を(x,x^2）とすると、
　y=x^2より、dy=2x・dx　∴Vy=2x・Vx
　V^2=Vx^2+Vy^2より、Vx=V/√(1+4x^2)　∴Vy=2xV/√(1+4x^2)

　V^2=Vx^2+Vy^2より、0=AxVx+AyVy　∴Ax=-2xAy
　y=x^2より、d^2y=2x(d^2x)+2(dx)^2　∴Ay=2x(-2xAy)+2V^2/(1+4x^2)
　∴Ax=-4xV^2/(1+4x^2)^2, Ay=2V^2/(1+4x^2)^2

(b) 極座標系
　　r=√(x^2+y^2)=x√(1+x^2)
　　Vr=dr/dt=x/r・dx/dt+y/r・dy/dt=x/r・Vx+y/r・Vy=V(1+2x^2)/√{(1+x^2)(1+4x^2)}
　　Vθ=rdθ=-y/r・Vx+x/r・Vy=V・x/√{(1+x^2)(1+4x^2)}

　　Ar=x/r・Ax+y/r・Ay=2xV^2/(1+4x^2)^2/√(1+x^2)
　　Aθ=-y/r・Ax+x/r・Ay=2V^2(2x^2+1)/(1+4x^2)^2/√(1+x^2)

(c) 軌道座標系
　　明らかに、Vt=V, Vn=0, At=An=0

　計算違いがあるかもしれませんので、考え方のみ参考にしてください。