力学の問題です。

質問

どの様に解答を作成すれば良いのかが分かりません。答案の一例を示して頂けると嬉しいです。

1)
xy平面上に原点Oに繋がれた質点mがある。質点は中心O、半径a>0の円周x^2 + y^2 = a^2 上を諸速度v0で円の接線方向に動き始める。質点は重力による摩擦がかかっていて、摩擦係数はkである。
質点の運動方程式を記述し、軌道を求めよ。

2)
球面x^2 + y^2 + z2 = a^2 (a>0)に質点mを(0, 0, a)から原点の周りに角度0 < α < π/2だけずらした。質点は滑り落ちるがいつ球面から離れただろうか。

3)
xy平面上に正方形ABCDがある。
A(d-a, -a), B(d+a, -a), C(d+a, a), D(d-a, a) (ただしa>0, d>0)
この正方形の面密度をpとして、z軸まわりの慣性モーメントを求めよ。

よろしくお願い致します。

回答No.1

SKJAXN

見辛くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため1次微分の表記を(d/dt)f[x]、2次微分の表記を(d2/dt2)f[x]、定積分の表記を{x=a→b}∫f[x]dxとさせていただきます。

1) 質点が左回りするものと仮定して解答します。左回りですので、右ネジの法則の要領で左に回した際の右手の親指の指す向きが、正の方向です。
まず、中心O周りの質点の慣性モーメントIを求めると、
I=m*a^2 →{1}

次に質点に作用する力は、摩擦力Ff=k*m*g、および張力Tです。摩擦力ベクトルは右回り方向に作用しますので、「中心Oから質点への方向ベクトル」から摩擦力ベクトルに対して右ネジの法則を応用すると、親指の指す向きが前述した向きと逆向きであるため負のモーメントとなり、その大きさは、「中心Oから質点への方向ベクトル」と摩擦力ベクトルから形成される平行四辺形(本問の場合長方形)の面積ですので、摩擦力のモーメントをNfとすると
Nf=-a*F=-a*k*m*g →{2}

また、「中心Oから質点への方向ベクトル」と張力のベクトルは逆向きであるため、平行四辺形が形成されません。よって張力のモーメントをNtとすると、Nt=0です。
以上より、回転角度をθ[t](tは時刻)とおくと運動方程式は、
I(d2/dt2)θ[t]=-Nf ⇔ m*a^2*(d2/dt2)θ[t]=-a*k*m*g →{3}

式{3}を時間tで積分して整理すると
a*(d/dt)θ[t]=-k*g*t+Co →{4} [Coは積分定数]

また角速度をω[t]とすると、式{4}は、
a*ω[t]=-k*g*t+Co →{5}

ここで式{5}の左辺は、質点の速度V[t]そのものです。t=0 で初速度v0を与えたとすると、V[0]=Co=v0 であるから、式{5}は
V[t]=-k*g*t+v0 →{6}

V[t]=0 となる時刻は、式{6}より、t=v0/(k*g)
以上より質点は、初速度v0で半径aの円運動を開始し、時刻 v0/(k*g) で停止します。

2) 質点が球面から離れるまで、球面に沿って滑り落ちている時の角度をθ(α<θ<π/2)、速度をvとおくと、エネルギー保存則より
m*g*a*cosα=m*g*a*cosθ+1/2*m*v^2 →{1}

また球面に対する法線方向の運動方程式は、垂直抗力をFnとおくと
m*v^2/a=m*g*cosθ-Fn →{2}

式{1}{2}からvを消去して整理すると
m*g*cosα=m*g*cosθ+1/2*(m*g*cosθ-Fn) →{3}

垂直抗力が0になる時、質点は球面から離れるため式{3}に Fn=0 を代入して整理すると
cosθ=2/3*cosα

以上より質点は、(0, 0, a)から原点の周りに角度 arccos(2/3*cosα) まで滑り落ちて球面から離れます。

3) 正方形内のの微小要素 (x, y)、(x+δx, y)、(x+δx, y+δy)、(x, y+δy)で囲まれる部分の慣性モーメントは (p*δx*δy)*(x^2+y^2) で表されますので、これをxについてはd-aからd+aまで、yについては-aからaまで積分すれば求まります。よってz軸周りの正方形の慣性モーメントIは
I=p*{y=-a→a}∫({x=(d-a)→(d+a)}∫(x^2+y^2)δx)δy →{1}
=p*{y=-a→a}∫({x=(d-a)→(d+a)}[1/3*x^3+y^2*x])δy
=p/3*{y=-a→a}∫(((d+a)^3-(d-a)^3)+3*y^2*((d+a)-(d-a)))δy

=2a*p/3*{y=-a→a}∫((3*d^2+a^2)+3*y^2)δy
=2a*p/3*{y=-a→a}[(3*d^2+a^2)y+y^3]
=2a*p/3*((3*d^2+a^2)*(2a)+(a^3-(-a)^3))

=4/3*a^2*p*(3*d^2+2*a^2);

※　式{1}の験算は、ご自分でも実施してみて下さい。