空間（長いです）

質問

「空間において、定点O,Aがあり、
FはOAの中点を中心とする半径1の球面である。
2点X1,X2をF上に取る時、4点O,A,X1,X2を頂点とする四面体の
体積の最大値を求めよ」
という問題で、（全部書くと長くなるので質問したい所だけ書くと）
『直径OAをx軸上に置き、△OX1Aをxy平面上に取る。
原点をO'として、O(1,0,0),A(-1,0,0)とする。
点X2からxy平面に降ろした垂線の足をHとし、O'Hとx軸の正方向とのなす角をβ、O'X2とz軸の正方向とのなす角をθとすると
X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)となる』

とあるのですが、
どうしてX2座標のx座標とy座標はsinθが掛かってるんですか？
また、Hの座標は(cosβ,sinβ,0)でOKですか？

回答よろしくお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

>どうしてX2座標のx座標とy座標はsinθが掛かってるんですか？
>また、Hの座標は(cosβ,sinβ,0)でOKですか？

まず、誤解の第一点はO'Hの長さが1だと考えている点ではないでしょうか。
HはX2からxy平面に下ろした垂線の足ですからO'HはO'X2*sinθです。
O'X2=1ですからO'H=sinθです。なので

H(sinθcosβ,sinθsinβ,0)
X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)

となります。

回答No.2

Meowth

X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)はこの”普通の球座標”の式。
球座標は地球の中心がＯ’　北極がｚ＝１、南極がｚ＝－１
でθは90°-緯度
にあたる角度（北極からはかった角度）
βは赤道上の1方向　（グリニッジに相当））すなわちｘ軸　から
はかった角度（経度に相当）で球上の位置を示しています。
＞O'X2とz軸の正方向とのなす角をθ
θがｚ軸となす角
ＨはＸ２から赤道面（ｘｙ面）にｚ軸に平行におろした線と赤道面の交点
Ｘ２の赤道面（ｘｙ面）への正射影は、Ｈを通る円、すなわち半径sinθの円上を移動します。
ｘｙ面での位置は、ｘ軸からの距離をβとすれば、
x=Rcosβ
y=Rsinβ
R=sinθ
で、Ｈの赤道面からの高さは、cosθ
です。まとめると、
X2(sinθcosβ,sinθsinβ,cosθ)
になります。
これで、
0＜θ＜π
0<β＜２π
をうごけば球面上を動くことになります。

ちなみに
OAをｚ軸においた解を示しておきます。
O(0,0,-1)
A(0,0,1)
とおいて
x1(sinα,0,cosα)
x2(cosφsinθ,sinφsinθ,cosθ)
から
底辺をΔOAX1とすれば、
面積は、1/2×OA×（X1のｘ座標）
=sinα
四面体の高さは、ｘ2のｙ座標
sinφsinθ
体積Ｖは
Ｖ＝1/3×sinαsinφsinθ
最大となるのは、
α＝π/2
φ＝π/2
θ=π/2
6V=2
V=2/3

ようするに、
ΔＯＡＸ１を底面　ＯＡＸ１からの高さをＸ２の（質問者の設定ではｚ座標、上の解では、ｙ座標）として、
それぞれ、Ｘ１は底面を最大にするように　Ｘ２は高さを最大にするようにきめればいいだけです。
（じつはわざわざ極座標を使う必要はありません。）