練習５２ ベクトルの問題です

質問

（１）
平面上に二点Ａ（１．１）Ｂ（－１，３）がある。ＡＢ→の大きさを求めよ。

（２）二つのベクトルＯＡ→、ＯＢ→のなす角をΘ（Ｏ°≦Θ≦１８０°）とするとき、ＣｏｓΘ、ＳｉｎΘをもとめよ。

このもんだい誰かおしえてください、
あとなす角の意味もおしえてください。

（１）は私は大きさを求める公式を思い出して
たとえば座標がa→（a1.a2)としたら、ＯＡ＝√（a1＾２+a2＾２）でこれを、｜a→｜=√a＾１＾2+a2＾2と表すと習ったので、このように考えればよいと思いましたけど、
今回はＡＢ間なので、普段は０からＡまでの距離で基本的にはＡの座標をたとえばＡ（２．２）であれば
上の公式をもちいて｜Ａ｜＝√4+4　とすればよかったので、簡単だったのですけど、こんかいはＡとＢ二点とも、座標があるのでどのようにしたら良いのかわかりませんでした。
誰か教えて下さい。

あと（２）はＣｏｓΘ＝a×ｂ/|a||b|を用いるのでしょうか？？　この公式の使い方がまだよくわかりません。

モウ一つは、この公式の導き方がわからりません。
導き方が解れば、たぶんこの公式の事が断然理解できると思うのですが、教科書の説明が難しくてよくわかりません。　

よろしくおねがいします！！＞＿＜！！！

回答No.2

freedom560 · ベストアンサー

＞たとえば座標がa→（a1.a2)としたら、ＯＡ＝√（a1＾２+a2＾２）でこれを、｜a→｜=√a＾１＾2+a2＾2と表すと習ったので、このように考えればよいと思いましたけど
基本はあっているので、これを基に考えましょう。

(1)ベクトルは大きさと方向は持っているけれども、始点はどこでもいいという基本性質は覚えていますか？つまり、今回のＡＢ→を無理やり原点を通る場所に持っていけば解けますね！！

Ａ（１，１）Ｂ（－１，３）のＡを原点に持っていくためには、それぞれ（－１，－１）だけ移動すればいいので・・

Ａ’（０，０）Ｂ’（－２，２）になります。
するとあなたが知っている公式
｜a→｜=√(a1^2+a2＾2)

で解けます。

基本の考え方はこれなんですが、これを公式にしてしまった
(2)２点Ａ（ｘ１，ｙ１）Ｂ（ｘ２，ｙ２）において
｜ＡＢ→｜=√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}
というものもあります。

(1)、(2)も結局は同じ計算をやっているので答えは変わりません。解きやすいほうを覚えてください。

＞ＣｏｓΘ＝a×ｂ/|a||b|
内積はa×ｂではなくa・ｂで習いませんでしたか？？
実はベクトルにはa×ｂと表記する「外積」と言うものが存在します。つまり、ＣｏｓΘ＝a×ｂ/|a||b|でもいいように感じるかもしれませんが、実は違うんです。正確にＣｏｓΘ＝a・ｂ/|a||b|と書いたほうがいいでしょう。

「なす角」とは２つのベクトルの間の角度のことです。正三角形ＡＢＣにおいてＡＢ→とＡＣ→のなす角度は６０°、∠Ａ＝９０°∠Ｂ＝３０°∠Ｃ＝６０°のときにＡＢ→とＡＣ→のなす角は９０°、ＢＡ→とＢＣ→のなす角は３０°、ＣＡ→とＣＢ→のなす角は６０°です。参考URLを書いておくので参照してみてください。

また、Ａ（ｘ１，ｙ１）Ｂ（ｘ２，ｙ２）において
ＯＡ→＝（ｘ１，ｙ１）ＯＢ→（ｘ２，ｙ２）なのはすぐにわかると思いますが、内積ＯＡ→・ＯＢ→は
ＯＡ→・ＯＢ→＝ｘ１×ｘ２＋ｙ１×ｙ２
となります。
つまり、２つのベクトルのｘの要素、ｙの要素をそれぞれ掛け合わせて、その掛け合わせた結果を全て足すという形になります。

今回はＡ（１，１）Ｂ（－１，３）なので
ＯＡ→・ＯＢ→＝１×（－１）＋１×３＝２になります。
｜ＯＡ→｜＝√２
｜ＯＢ→｜＝√１０
なので、
ＣｏｓΘ＝２÷（√２×√１０）＝１／√５
です。

＞モウ一つは、この公式の導き方がわからりません。
導き方ですか・・

自分もよくわかりません(--;;
（一応内積は定義だと習いますが、なんでこんな定義にしたのかと言われると結構難しいですよね～）

ただ、
ＯＡ→・ＯＢ→＝｜ＯＡ→｜｜ＯＢ→｜ｃｏｓθ
が内積の定義だと覚えて

｜ＯＡ→｜＝√（ｘ１＾２＋ｙ１＾２）
｜ＯＢ→｜＝√（ｘ２＾２＋ｙ２＾２）
ＯＡ→・ＯＢ→＝ｘ１×ｘ２＋ｙ１×ｙ２

であることさえ覚えていれば全く問題なく解けますよ♪

参考URL：

http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/vect15.htm

回答No.3

noname#44630

(１)ベクトルの成分表示したものは座標と同じようなものなので、二点を結んだ線分を斜辺とする直角三角形を作り、三平方の定理で長さを出してください。
すると、｜ＡＢ→｜=√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}という公式になる理由もわかってくると思いますよ。始点が原点のときは２の成分がどちらも０のときです。

(２)そのとうりです。しかし表記方法には気をつけましょう。これは内積の公式がありますよね？
a・b＝｜a｜×｜b｜cosθ　（a,bはベクトル）です。内積の意味というのは考えないほうがいいです。単なる計算方法だとおもって覚えてください。ここで表記方法とはa・bのこの・のことです。内積をあらわすときは・でなくてはなりません。×になるのは外積といわれ、大学でまた習いますので。内積の公式をcosθ＝の式にすれば、おっしゃている式がでてきますよね？あとは内積の成分の場合の計算方法a・b＝（a1×b1)+(a2×b2）を用いれば分子がで、それぞれの大きさの掛け算で分母がでますよね。するとcosθの値からθの値がわかるはずです。またθとはaとbのなす間の角度のことです。しかしコレには２つありますよね？θの条件を考えればどちらかはすぐにわかります。間が小さいほうをとればいいのです

回答No.1

postro

まず、基本的なことですが
平面上の二点Ａ（１．１）Ｂ（－１，３）のとき、ＡＢ→={(-1-1),(3-1)}=(-2,2) になります。
座標平面上に図を描いて考えてください。ベクトルは平行移動してもよい。
点Aと点Bを結んだＡＢ→が、原点から(-2,2) に向かったベクトルに平行移動されています。
こうなればこの大きさは√(4+4) だとわかりますね。
ＯＡ→、ＯＢ→のなす角とはこの二つのベクトルがつくる角度です。なんとも説明が難しいです。
この角度θを使って内積が定義されています。これは定義だから覚えてください。覚えるしかありません。
内積は
a→・b→=|a→||b→|cosθ
ですね
この両辺を|a→||b→|で割ると
cosθ=a→・b→/|a→||b→|
です。
この問題の場合、ＯＡ→とＯＢ→の内積は（それぞれが成分表示されているので）すぐわかりますね。つまり
ＯＡ→・ＯＢ→=1*(-1)+1*3=2
また、|ＯＡ→|=√2 ,|ＯＢ→|=√10　もわかりますから、これらを代入して
cosθ=2/√2√10=1/√5 がわかり、そうすれば
sinθ=2/√5 もわかります。