空間ベクトル

質問

「点P(3,2,3)から、3点A(2,0,-5),B(-4,3,4),C(0,-2,1)
を通る平面に下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。」という問題で、
通常は、法線ベクトルn=(a,b,c)として、ABベクトルとACベクトルの直交条件から
求めると思いますが、簡明な下記解答がありました。
OA+2OB-3OC=-6(1,-2,0)
2OA+OB-3OC=9(0,1,-1)
平面ABCの法線ベクトルn=(2,1,1)/√6
OH=OP+(PA.n)n=(3,2,3)-2(2,1,1)=(-1,0,1)
どのようにしてこの式が誘導できるのか、意味を教えてください。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

OA+2OB-3OC=-6(1,-2,0)
2OA+OB-3OC=9(0,1,-1)
は平面ABC内の2つのベクトルだが成分の1つが0になるようにしたのだと思う。私なら単純にAB=(-6,-3,9)=3(-2,-1,3)とAC=(-2,-2,6)=2(-1,-1,3)を考えると思う。これで外積を求めるのは少しだけ難しくなるが，その代わりに2つのベクトルの成分計算はかなり楽になる。
「平面ABCの法線ベクトルn=(2,1,1)/√6」は上記のベクトルの外積を計算して単位ベクトルにした。
「OH=OP+(PA.n)n=(3,2,3)-2(2,1,1)=(-1,0,1)」はOHをOPとPを通る法線方向のベクトル(長さはちょうど内積で求まる)に分けて計算した。

お礼

ありがとうございました。