ベクトルによる正三角形

質問

xy座標平面上のベクトルOA→,OB→を考える。
△ABCが正三角形の時、OC→をOA→,OB→を用いて表せ。

以上の問題で、OC→ = sOA→ + tOB→とおき、
|AB→|^2 = |BC→|^2をしてみたんですが
うまく求められませんでした。
感覚的には、△ABCは2つ作れそうな気が
するんですがうまく解が求まりません。

以下、大文字をベクトルとする。
|AB|^2 = |AC - AB|^2
|AB|^2 = |AC|^2 - 2AB・AC + |AB|^2
△ABCの1辺をaとすると
a^2 = 2AB・AC
a^2 = 2AB(OC - OA)
a^2 = 2AB{(s-1)OA + tOB)

ここで詰まってしまいました。

どうすればよいでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

nag0720

線分ABの中点をDとすると、
OD=(OA+OB)/2

OAとABが直交する場合、
△ABCは正三角形なので、|DC|=√3/2*|AB|
DC=±((√3/2*|AB|)/|OA|)OA
より、
OC=OD±((√3/2*|AB|)/|OA|)OA
　=(OA+OB)/2±((√3/2*|OB-OA|)/|OA|)OA

OAとABが直交しない場合、
線分ABの垂直二等分線と直線OAとの交点をEとする。
OE=pOA　とすると、
DE・AB=(pOA-(OA+OB)/2)・(OB-OA)=0　より、
p=(OB・OB-OA・OA)/(OA・OB-OA・OA)
DE=OE-OD
　=pOA-(OA+OB)/2
　=(OB・OB-OA・OA)/(OA・OB-OA・OA)OA-(OA+OB)/2
DC=±((√3/2*|AB|)/|DE|)DE
より、
OC=OD±((√3/2*|AB|)/|DE|)DE
　=(OA+OB)/2±((√3/2*|OB-OA|)/|DE|)DE
あとは、上記のDEを代入すれば、OAとOBの式で表せられます。

回答No.3

rabbit_cat

＞xy座標平面上

回答No.2

info22

問題文からは
「頂点Cが平面OAC上に存在する」…（●）
ことにはならないので

>OC→ = sOA→ + tOB→とおき、

と置けないと思いますがどうでしょうか？

それとも問題文に書かれていない（●）の条件が元の問題文に書いてあるのでしょうか？

回答No.1

rabbit_cat

OC = sOA + tOB
とおいて、
|AB|^2 = |BC|^2
と
|AB|^2 = |AC|^2　（正三角形というんだから、こっちも必要）
を連立させればいいだけ。
未知数がs，tの２つで、式も２つあるんだから、地道に計算していけば解けるでしょ。内角が60度を利用するとか、もっと楽な解き方もあるとは思いますが。

|AB|^2 = |BC|^2
|OB-OA|^2 = |OC-OB|^2
|OB-OA|^2 = |sOA + (t-1)OB|^2
|OB|^2 - 2OA・OB + |OA|^2 = s^2|OA|^2 + 2s(t-1)OA・OB + (t-1)^2|OB|^2 … (1)

|AB|^2 = |AC|^2　
|OB-OA|^2 = |OC-OA|^2
|OB-OA|^2 = |(s-1)OA + tOB|^2
|OB|^2 - 2OA・OB + |OA|^2 = (s-1)^2|OA|^2 + 2t(s-1)OA・OB + t^2|OB|^2 … (2)

で、(1)(2)を、s,t に関する連立方程式だと思って解けばいいです。
直感どおり解は２組あります。
ちなみに、おそろしく複雑な解になります。

※注意※
言わずもがなかもしれませんが、|OA|^2 とか |OB|^2 とか OA・OB とかは単なる定数（数字）です。
間違っても、
|OB|^2 - 2OA・OB + |OA|^2 = s^2|OA|^2 + 2s(t-1)OA・OB + (t-1)^2|OB|^2 … (1)
ていう式をみて、両辺を係数比較して、
1=s^2　，-2=2s(t-1)　，1=(t-1)^2
とかしてはいけませんよ。