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大学入試（群馬大）ベクトル・三角関数について
- 座標平面上の２点Ａ（sinθ，cosθ）Ｂ（（√3）×sinθ－cosθ，sinθ＋（√3）×cosθ）を考える。
- ベクトルＯＢの大きさを求めるためには、cos型で考える。
- 行列を利用すると位相（１２０°－θ）が求められる。
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次の2行2列の行列を考えます（カッコなしです）。 √3 -1 1 √3 この行列に，右から下の列ベクトルOAをかけます。 sinθ cosθ すると，列ベクトルOBがえられます。 ここで，最初の行列は，30度，2倍の回転拡大行列です。 つまり，単位円上の点Aを30度回転して，2倍したのが点B ということなので， OB＝2×OA＝2
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なるほど行列だと まずx1=sinΘ、y1=cosΘとおいて x2＝（√3）×sinθ－１×cosθ y2＝ sinθ＋（√3）×cosθ のとき(x2,y2)は(x1,y1)を反時計回りに何度回転した座標なのか分かればよいですね。ここで行列使って表示すると (x2,y2)＝[√3/2 -1/2]2(x1.y1) (←行列の書き方がうまく分から [1/2 √3/2] ずごめんなさい) そして [√3/2 -1/2]＝[cos(-30°) sin(-30°)] [1/2 √3/2] [-sin(-30°) cos(-30°)] これは反時計回りに-30°回転させる行列変換を表す。 したがって (x2,y2)＝[cos(-30°) sin(-30°)]2(x1.y1) [-sin(-30°) cos(-30°)] で(x2,y2)は(x1,y1)を2倍に拡大してさらに反時計回りに -30°回転した座標であることが分かったので (x2,y2)の大きさは(x1,y1)の大きさの2倍で (x1,y1)の大きさは1なので結果として2 たしかにこのやりかたもあるね。すごいと思いました
お礼
Tryandgoさん 再度ご対応いただき、ありがとうございました。 詳しく説明いただき助かります。
OBの大きさだろう。もう求められるやん。 まず、－１×cosθ＋（√3）×sinθ＝2sin(Θー30°)で sinθ＋（√3）×cosθ＝2sin(Θ＋60°) と変形でき 2sin(Θ＋60°)＝2sin(Θ-30°＋90°)＝2cos(Θ-30°)であるから Ｂ（（√3）×sinθ－cosθ，sinθ＋（√3）×cosθ） ＝B(2sin(Θー30°), 2cos(Θ-30°)) の大きさ求めればいい。 そしたらsin^2Θ＋cos^2Θ＝1より OBの大きさは√[{2sin(Θー30°)}^2＋{2cos(Θ-30°)}^2]＝２ やん。
お礼
Tryandgoさん 早速ご回答いただき、ありがとうございました。 確かに、そうです。私は問題の解説のヒントを意識してしまい そのような位相（１２０°－θ）が行列表示することで判断できる ものと思っていましたもので。 Tryandgoさんの場合、まずは２つ（ｘとｙ）を計算して、その後 位相を合わせるやり方ですが、結果として答えが出れば問題なしなの ですが、本問に関して、質問でも書かせていただきましたが、行列に より（おそらく、行列表示した際の・・・）位相部分を見いだすこと ができるのでしょうかね。 お手数お掛けして申し訳ございませんでした。
お礼
konoshudaiさん ご回答いただきありがとうございました。 なるほど、という感じです。 大変助かりました。