至急解答願います！！ 数学のベクトルです。

質問

数学の問題を教えてください…

0＜θ＜π/2とする。座標平面上に4点A(1,0),
B(cosθ,sinθ),C(cos2θ,sin2θ),D(cos3θ,sin3θ)をとり、ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,t=cosθとおく。(1)ベクトルOC,ベクトルODをベクトルa,ベクトルbおよびtを用いて表せ。
(2)2直線AB,CDの交点をEとするとき、ベクトルOEを、ベクトルa,ベクトルb,およびtを用いて表せ。
(3)ベクトルOEの大きさをtを用いて表せ。
の三問です。
出来るだけ早めにお願いします ⤵

回答No.3

bran111

4点A(1,0),,sin2θ),D(cos3θ,sin3θ)をとり、ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,t=cosθとおく。

(1)ベクトルOC,ベクトルODをベクトルa,ベクトルbおよびtを用いて表せ。

x,y方向の単位ベクトルをi↑,j↑とする。

i↑＝a↑

は明らかである。

b↑=i↑cosθ+j↑sinθ=ti↑+√(1-t^2)j↑=ta↑+√(1-t^2)j↑

故に

j↑=(b↑-ta↑)/√(1-t^2)=(b↑-ta↑)/√(1-t^2)

OC=cos2θi↑+sin2θj↑=(2cos^2-1)i↑+2sinθcosθj↑
=(2t^2-1)i↑+2t√(1-t^2)j↑
=(2t^2-1)a↑+2t√(1-t^2)(b↑-ta↑)/√(1-t^2)
=(2t^2-1)a↑+2t(b↑-ta↑)
=2tb↑-a↑

OD=cos3θi↑+sin3θj↑=(4cos^2θ-3cosθ)i↑+(-4sin^3θ+3sinθ)j↑
=(4t^3-3t)i↑+sinθ(3-4sin^2θ)j↑
=(4t^3-3t)i↑+sinθ(3-4(1-cos^2θ)j↑
=(4t^3-3t)i↑+sinθ(4cos^2θ-1)j↑
=(4t^3-3t)i↑+(4t^2-1)√(1-t^2)j↑
=(4t^3-3t)a↑+(4t^2-1)√(1-t^2)(b↑-ta↑)/√(1-t^2)
=(4t^3-3t)a↑+(4t^2-1)(b↑-ta↑)
=-2ta↑+(4t^2-1)b↑

(2)2直線AB,CDの交点をEとするとき、ベクトルOEを、ベクトルa,ベクトルb,およびtを用いて表せ。

OEとx軸のなす角は3θ/2である。OEの方程式は

y=xtan(3θ/2) (1)

ABの方程式は

y=(x-1)sinθ/(cosθ-1) (2)

(1)(2)の交点がEである。連立して

xsin(3θ/2)/cos(3θ/2)=(x-1)2sin(θ/2)cos(θ/2)/(1-2sin^2(θ/2)-1)=-(x-1)cos(θ/2)/sin(θ/2)

x(sin(3θ/2)/cos(3θ/2)+cos(θ/2)/sin(θ/2))=cos(θ/2)/sin(θ/2)

x(sin(3θ/2)sin(θ/2)+cos(3θ/2)cos(θ/2))=cos(θ/2)cos(3θ/2)

xcosθ=(1/2)(cos2θ+cosθ)=(1/2)2cos(3θ/2)cos(θ/2)=cos(3θ/2)cos(θ/2)

x=(cos2θ+cosθ)/2cosθ=(2t^2+t-1)/2t=2cos(3θ/2)cos(θ/2)/2cosθ=cos(3θ/2)cos(θ/2)/cosθ

y=xsin(3θ/2)/cos(3θ/2)=(cos(3θ/2)cos(θ/2)/cosθ)(sin(3θ/2)/cos(3θ/2)
=cos(θ/2)(sin(3θ/2)/cosθ=(1/2)(sin(2θ)+sinθ)/cosθ=(1/2)(2sinθcosθ+sinθ)/cosθ
=(sinθ)(2cosθ+1)/2cosθ=(2t+1)√(1-t^2)/2t

OE=xi↑+yj↑=[(2t^2+t-1)/2t]a↑+[(2t+1)√(1-t^2)/2t](b↑-ta↑)/√(1-t^2)
=[(2t^2+t-1)/2t]a↑+[(2t+1)/2t](b↑-ta↑)
=(1/2t)a↑+(1+1/2t)b↑

(3)ベクトルOEの大きさをtを用いて表せ。

|OE|^2=x^2+y^2=[(2t^2+t-1)/2t]^2+[(2t+1)√(1-t^2)/2t]^2
=[(2t+1)/2t]^2[(t-1)^2+1-t^2]=[(2t+1)/2t]^2(2(1+t))

|OE|=[(2t+1)/2t]√(2(1+t))=(√2/2)(1+1/2t)√(1+t)

回答No.2

178-tall

(1) 加法算式
a = [ 1 ; 0 ] , b = [ t ; √(1-t^2) ] とでもすれば、
　[ cos(φ+θ) ; sin(φ+θ) ]
　=　[ -√(1-t^2)　t ; √(1-t^2)　t ] * [ cos(φ) ; sin(φ) ]

(2) 差ベクトル
　[ cos(φ+θ) ; sin(φ+θ) ] - [ cos(φ) ; sin(φ) ]
　= [ - {1 + √(1-t^2) }　t ; √(1-t^2)　(t-1) ] * [ cos(φ) ; sin(φ) ]
を使えば、直線 AB, CD 交点を勘定できそう …。

以下も簡単そう …。

回答No.1

atkh404185

(1)　(→OC)=e(→a)+f(→b)　とおくと、
(cos2θ, sin2θ)=e(1, 0)+f(cosθ, sinθ)
=(e+fcosθ, fsinθ)
=(e+ft, fsinθ)
よって、
　cos2θ=e+ft　・・・・・・（ア）
{
　sib2θ=fsinθ　・・・・・・（イ）
0<θ<π/2 より　sinθ>0　だから
（イ）より
f=sin2θ/sinθ
=2sinθcosθ/sinθ
=2cosθ
=2t
（ア）に代入して
cos2θ=e+2t^2
e=cos2θ-2t^2
k=2cos^2θ-1-2t^2
=2t^3-1-2t^2
=-1
したがって、
(→OC)=-(→a)+2t(→b)

(→OD)=g(→a)+h(→b)　とおくと、
(cos3θ, sin3θ)=g(1, 0)+h(cosθ, sinθ)
=(g+hcosθ, hsinθ)
=(g+ht, hsinθ)
よって、
　cos3θ=g+ht　・・・・・・（ウ）
{
　sib3θ=hsinθ　・・・・・・（エ）
（エ）より
h=sin3θ/sinθ
=(3sinθ-4sin^3θ)/sinθ
=3-4sin^2θ
=3-4(1-cos^2θ)
=3-4(1-t^2)
=3-4+4t^2
=4t^2-1
（ウ）に代入して
cos3θ=g+(4t^2-1)t
g=cos^3θ-(4t^2-1)t
=-3cosθ+4cos^3θ-(4t^2-1)t
=-3t+4t^3-4t^3+t
=-2t
したがって、
(→OD)=-2t(→a)+(4t^2-1)(→b)

(2)　Ｅは直線ＡＢ上の点だから、
(→OE)=i(→a)+(1-i)(→b)　・・・・・・（オ）
また、Ｅは、直線ＣＤ上の点でもあるから、
(→OE)=j(→OC)+(1-j)(→OD)
=j{-(→a)+2t(→b)}+(1-j){-2t(→a)+(4t^2-1)(→b)}
=-j(→a)+2tj(→b)}-2t(1-j)(→a)+(4t^2-1)(1-j)(→b)}
={(2t-1)j-2t}(→a)+{(-4t^2+2t+1)j+4t^2-1}(→b)　・・・・・・（カ）
(→a)∦(→b), (→a)≠0, (→b)≠0 だから
（オ）、（カ）より
　i=(2t-1)j-2t　・・・・・・（キ）
{
　1-i=(-4t^2+2t+1)j+4t^2-1　・・・・・・（ク）
（キ）を（ク）に代入して
1-{(2t-1)j-2t}=(-4t^2+2t+1)j+4t^2-1
1-(2t-1)j+2t=(-4t^2+2t+1)j+4t^2-1
(4t^2-4t)j=4t^2-2t-2
j=(4t^2-2t-2)/(4t^2-4t)
=2(2t^2-t-1)/4t(t-1)
=2(2t+1)(t-1)/4t(t-1)
=(2t+1)/2
（キ）に代入して
i=(2t-1)(2t+1)/2-2t
=(4t^2-1-4t)/2
=(4t^2-4t-1)/2
したがって、
(→OE)=(4t^2-4t-1)/2)(→a)+{1-(4t^2-4t-1)/2}(→b)
=(4t^2-4t-1)/2)(→a)-{(4t^2-4t-3)/2}(→b)
=(4t^2-4t-1)/2)(→a)-{(2t+1)(2t-3)/2}(→b)

(3)　(2) より
|(→OE)|^2=|(4t^2-4t-1)/2)(→a)-{(2t+1)(2t-3)/2}(→b)|^2
=(4t^2-4t-1)^2/4)|(→a)|^2
　　　-2{(4t^2-4t-1)/2}{(2t+1)(2t-3)/2}(→a)・(→b)
　　　　　　+(2t+1)^2(2t-3)^2/4}|(→b)|^2　・・・・・・（ケ）
ここで、
|(→a)|^2=1^2+0^2=1+0=1
(→a)・(→b)=(1, 0)・(cosθ, sinθ)=cosθ+0=cosθ=t
|(→b)|^2=cos^2θ+sin^2θ=1
だから、これらを（ケ）に代入して
|(→OE)|^2=(4t^2-4t-1)^2/4)・1
　　　　　　　-2{(4t^2-4t-1)/2}{(2t+1)(2t-3)/2}t
　　　　　　　　+{(2t+1)^2(2t-3)^2/4}・1
=(16t^4+16t^2+1-32t^3+8t-8t^2)4
　　-(32t^4-48t^3-16t^2+28t+6)/4
　　　　+(16t^4+4t^2+9-16t^3+12t-24t^2)/4
=(4t^2-8t+4)4
=t^2-2t+1
=(t-1)^2
したがって、
|(→OE)|=|t-1|
=1-t　( ∵　0<θ<π/2 より　1-t=1-cosθ>0 )