ベクトル 回転 なす角

質問

座標空間の原点をOとし、点Q（cosα、０、sinα）｜α｜＜π/4が与えられている。長さ１のベクトルOPはｚ軸の正の方向と角π/4を保ちながら一定の速さで回転し、時間２πで１まわりしている。点Pが1回転する間に２つのベクトルOPとOQのなす角がπ/2より小さくなる時間の長さは４π/3である。このとき点Qの座標を求めよ。

この問題を解いているのですが、Pの座標を（cosβ、sinβ、1/√２）とおけるでしょうか？
「２つのベクトルOPとOQのなす角がπ/2より小さくなる時間の長さは４π/3である」
というのはcosθ＝ベクトルOP・OQで、β＝4π/3のときにcosθ＜０
ということなのでしょうか？
このようにやってみても、Qの座標が出てこなくて困っています。
回答いただければありがたいです。
よろしくお願いします

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

＞Pの座標を（cosβ、sinβ、1/√２）とおけるでしょうか？

長さが1ですからP（cosβ/√2、sinβ/√2、1/√2）ですね。

＞cosθ＝ベクトルOP・OQで、β＝4π/3のときにcosθ＜０ということなのでしょうか？

cosθ>↑OP・↑OQとなるβの範囲が4π/3ということですね。
今、|α|<π/4　よりcosα>1/√2ですから
-2π/3≦β≦2π/3
でしょう。結局、β=±2π/3の時にOPと成す角度がπ/2ということになると思います。

お礼

早速回答いただきありがとうございました。
おかげさまでよくわかりました