ベクトル回転の問題について
- 座標空間の原点をOとし、点Q(cosα、0、sinα)|α|<π/4が与えられている。長さ1のベクトルOPはz軸の正の方向と角π/4を保ちながら一定の速さで回転し、時間2πで1まわりしている。
- 点Pが1回転する間に2つのベクトルOPとOQのなす角がπ/2より小さくなる時間の長さは4π/3である。
- このとき点Qの座標を求めるために、cosθ=ベクトルOP・OQの条件を使用していますが、Qの座標が求まらない問題に困っています。
- ベストアンサー
ベクトル 回転 なす角
座標空間の原点をOとし、点Q(cosα、0、sinα)|α|<π/4が与えられている。長さ1のベクトルOPはz軸の正の方向と角π/4を保ちながら一定の速さで回転し、時間2πで1まわりしている。点Pが1回転する間に2つのベクトルOPとOQのなす角がπ/2より小さくなる時間の長さは4π/3である。このとき点Qの座標を求めよ。 この問題を解いているのですが、Pの座標を(cosβ、sinβ、1/√2)とおけるでしょうか? 「2つのベクトルOPとOQのなす角がπ/2より小さくなる時間の長さは4π/3である」 というのはcosθ=ベクトルOP・OQで、β=4π/3のときにcosθ<0 ということなのでしょうか? このようにやってみても、Qの座標が出てこなくて困っています。 回答いただければありがたいです。 よろしくお願いします
- eiiewo
- お礼率11% (10/85)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>Pの座標を(cosβ、sinβ、1/√2)とおけるでしょうか? 長さが1ですからP(cosβ/√2、sinβ/√2、1/√2)ですね。 >cosθ=ベクトルOP・OQで、β=4π/3のときにcosθ<0ということなのでしょうか? cosθ>↑OP・↑OQとなるβの範囲が4π/3ということですね。 今、|α|<π/4 よりcosα>1/√2ですから -2π/3≦β≦2π/3 でしょう。結局、β=±2π/3の時にOPと成す角度がπ/2ということになると思います。
関連するQ&A
- 領域と、ベクトルの問題です
Oを中心とし、 半径が1と2の 同心円C1、C2がある。 点Q、RがOQとORのなす角を30゜に保つように C1の周上を動くとする。 PがC2の周上を動くとき、 ベクトルOP・ベクトルOQ+ベクトルOP・ベクトルOR の最大値、そのときのベクトルOPとベクトルOQのなす角θを求める問題です。 途中まで、やってみました。 ベクトルOP・ベクトルOQ+ベクトルOP・ベクトルORの式は ベクトルの内積をとって 2cosθ+2cos(30゜+θ)…(1) と変形できて、 (1)を2でくくって 2{cosθ+cos(30゜+θ)}となり、 和積公式をもちいて 4cos(15゜+θ)cos15゜ と変形しました。 ここからどうやれば 最大値、そのときのベクトルOPとベクトルOQのなす角θを導けるのか 教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題(図形量の最大最小)
(問題) 動点Pは、原点を中心とし半径1の円周上を時刻t=0のときに点(1,0)を出発し、正の向きに一定の速度で動き、1秒間で円周を2周する。また動点Qは、点(4,0)を中心とし、半径2の円周上を、時刻t=0のときに点(4,2)を出発し、正の向きに一定の速度で動き、1秒間で円周を1周する。時間0≦t≦1(秒)で考えるとき、2点P,Qの距離の最大値、最小値を求めなさい。 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ (解答) A(4,0) B(1,0) C(4.2)とする 1秒間でPは4π Qは4π進むことから、 t秒後のP,Qの回転角をそれぞれα、θ とおくと、 ⌒BP=α ⌒CQ=2θ α:2θ=4π:4π=1:1 ∴α=2θ 0≦t≦1より 0≦θ≦2π よってベクトルOP=(cos2θ、sin2θ) ベクトルOQ=ベクトルOA+ベクトルAQ =(4,0)+(2cos(θ+π/2)、2sin(θ+π/2)) =(4-2sinθ,2cosθ) であるから、PQ二乗=(4-2sinθーcos2θ)二乗+(2cosθ-sin2θ)二乗 =16sin二乗θ-20sinθ+13 sinθ=uとおくと-1≦u≦1であり、‥‥‥ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ この解答で回転角を設定している場面がわかりません、1秒間でPは4π、Qは2π移動するのではないか?と思い、だから⌒BPと⌒CPの比が変わるのかなあと思って、比の値を変えようとしてみましたが、うまく行きません、 だから、この解答で合っているのかなと思うのですが、 合っているのならば、最初の方の回転角の設定はどういうふうに考えればよいのでしょうか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル 青チャート
実数x,y,a,bが条件x^2+y^2=1および(a-2)^2+(b-2√3)^2=1を満たす時、ax+byの最大値、最小値を求めよ。 解答には「点Pは円x^2+y^2=1の周上を動き、点Qは円(x-2)^2+(x-2√3)^2=1・・・(1)の周上を動く。 OP→とOQ→のなす角をθとすると ax+by=OP→・OQ→=|OP→||OQ→|cosβ=√1・|OQ→|cosβ=|OQ→|cosβ 0°≦β≦180°より、-1≦cosβ≦1であるから、 ax+byが最大となるのは、|OQ→|が最大でcosβ=1のときで、 最小となるのは|OQ→|が最大でcosβ=-1のときである。 円(1)の中心はA(2,2√3)であり、直線OAと円(1)の交点のうち原点から遠い距離にある点をQ1とすると、|OQ→|の最大値は OQ1=OA+AQ1=√2^2+(2√3)^2+1=5 (ちなみにここの√2^2+(2√3)^2は計算していただいたらおわかりのように全て√でくくられています) よって、ax+byの最大値は5 最小値は-5」 解答に書いてあることがいまいち理解できないので 暗記に走ってしまいそうです。 高1の最後の春休みにベクトルを克服しようと思うので 回答者様のお力の方をお借りしたい所存でございます。 まずわからないところ(1) √1・|OQ→|cosβ とありますが√1はどこからきたのですか? また√1とする意味も分かりません。普通に1とすればいいのではと思ってしまいます。 わからないところ(2) 「点Pは円x^2+y^2=1の周上を動き、点Qは円(x-2)^2+(x-2√3)^2=1・・・(1)の周上を動く。」 これはもう・・・ 日本語の問題というべきでしょうか。 なんで(1)はxについての式みたいになっているのでしょうか? このようにして表したわけがわかりません。 あとの解説はなんとなくわかるのですが・・・ 誰か分かる方教えてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 回転行列の定義について
回転行列の定義について 点P(x,y)を原点Oの周りに角θだけ回転させた点をP'(x',y')とすると (x')=(cosθ -sinθ)(x) (y') (sinθ cosθ)(y) ※上下2段で1つの行列と見てください と表せ,この (cosθ -sinθ) (sinθ cosθ) を回転行列と呼ぶ。これは理解できるのですが (x' y')=(x y)( cosθ sinθ) (-sinθ cosθ) と考えることもできますよね。この ( cosθ sinθ) (-sinθ cosθ) を回転行列と呼ぶことはできないのでしょうか。 むしろ座標は横に並べて書く方が慣れているので、できればこちらで考えたいのですが…。 もしできるのであれば、実用的(試験等)にこちらの考え方を使うことはできるのでしょうか。 また、できないのであれば前者は○で後者が×となる理由があるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この問題が解けません(オイラー角)
(1) 2 2 -1 P=1/3 2 -1 2 1 -2 -2 より定まる R^3 上の回転移動の回転軸を求めよ. (2) (2√3-√6)/4 (6+√2)/4 √2/2 Q=1/2 (2+3√2)/4 (2√3-√6)/4 -√6/2 のテイラー角を求める。 -√6/2 √2/2 -√2 行列Pとベクトルe を以下のように定める cosθ 0 sinθ P= 0 1 0 -sinθ 0 cosθ cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 cosθ 0 sinθ 0 1 0 -sinθ 0 cosθ (ここまでが行列Pです) 0 e=0 1 Pe3 と ^te3P を求めよ.(解き方だけでもご教授ください)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間ベクトルにて存在する範囲と求積応用題
空間ベクトルでの主に存在範囲を問う数B問題です。 以下問題文です。 0°≦α≦120°,0°≦β≦120°とする。座標平面上に,3点 O(0,0),A(2√3,-2√6),B(2√6,2√3) があり,点Pは OPベクトル=OAベクトルcosα+OBベクトルsinβ を満たしている。 (1)cosα,sinβのとり得る値の範囲は 【 1 】≦cosα≦【 2 】,【 3 】≦sinβ≦【 4 】 である。 (2)点Pの存在する範囲は【正方形 長方形 ひし形 平行四辺形】の内部および周である。いずれか選べ。 また,その図形の面積は【 5 】である。 (3)α=βとする。|OPベクトル|^2=【 6 】であるから,点Pの存在する範囲は半径【 7 】の円の弧で,その弧の長さは【 8 】πである。 空間的な概念理解はとりわけ不得手ですので 方針をご指導頂ける方,何卒宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルが分かりません
四面体OAPQにおいて|OA↑|=1、OA↑⊥OP↑、OP↑⊥OQ↑、OA↑⊥OQ↑で、∠PAQ=30°である。△APQの面積Sを求めよ。 ここは成分は使わないで、ベクトルだけでやります。以下、XY↑のことをXYと書きます。 OA=a、OP=p、OQ=qとすると条件より|a|=1、a\p=a\q=p\q=0が成り立ち、 ・{|AP|AQ|}^2=(|p|^2-2a\p+a^2)(q^2-2aq+a^2)=(p^2+1)(q^2+1) ・(AP\AQ)={(p-a)(q-a)}^2=(p\q-a\p-a\q+a^2)^2== 1 でも(AP\AQ)^2=(|AP||AQ|cos30°)^2= 3/4(p^2+1)(q^2+1)と形が違います??しかもcos30°使ってません!間違いを教えてください!!あと、AP\AQの求めかたはやはり後者が自然(計算が少なくなる)ですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
早速回答いただきありがとうございました。 おかげさまでよくわかりました