サイクロイドの問題野計算過程が分かりません

このQ&Aのポイント
  • サイクロイドの計算過程を理解したいです。原点O、円の中心C、x軸との接点Q、線分CQの垂線の足Hを使って、点Pの座標を求める方法が知りたいです。
  • サイクロイドの回転運動の時間と点Pの移動距離の関係が気になります。具体的には、円板が回転する時間が(θ/ω)であるとき、点Pの移動距離がs=∫(0→θ/ω)2aωsin(wt/2)dtと表される理由を知りたいです。
  • 円板の回転運動を表すベクトルV(速度)とa(加速度)が与えられています。具体的には、Vベクトル=(aω(1-cosωt)、aωsinωt)、aベクトル=(aω^2sinωt、aω^2cosωt)です。これらのベクトルを利用して点Pの移動距離を表す積分式が求められる理由を知りたいです。
回答を見る
  • ベストアンサー

サイクロイドの問題野計算過程が分かりません

原点をO、円の中心をC、x軸との接点をQ P(原点Oにt=0のときx軸と重なる、tによって変化する点)から線分CQへの垂線の足をHとする。円板がθだけ回転したとき、線分OQ=弧PQ=aθであるから、点Cの座標は(aθ、a)である。 よって点Pの座標は(a(θ-sinθ)、a(1-cosθ)) Vベクトル(速度)=(aω(1-cosωt)、aωsinωt) aベクトル(加速度)=(aω^2sinωt、aω^2cosωt) そこで円板がθ(≦2π)だけ回転する時間は(θ/ω)であるから、点Pの移動距離はs=∫(0→θ/ω)|Vベクトル|←(Vベクトルの大きさという意味)     この式がs=∫(0→θ/ω)2aωsin(wt/2)dt     になると書いてあるのですがなぜこうなるのかが分かりません。どなたか教えていただけませんか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

単純にベクトルの大きさを計算しただけだと思います。  Vベクトル(速度)=(aω(1-cosωt)、aωsinωt) ですから、  |Vベクトル|= √((aω(1-cosωt))^2+(aωsinωt)^2)        =aω√(1-2cosωt+(cosωt)^2+(sinωt)^2)        =aω√(1-2cosωt+1) (∵ (cosωt)^2+(sinωt)^2=1 より)        =aω√(2-2cosωt)        =aω√4((1-cosωt)/2)        =2aω√((1-cosωt)/2)        =2aωsin(ωt/2)t (∵ 半角の公式を使った) となります。

7kazima
質問者

お礼

ありがとうございました。できました。

関連するQ&A

  • サイクロイド

    平面状を運動する点Pの時刻tに於ける座標(x,y)が、x=a(ωt-sinωt),y=a(1-cosωt)で与えられている時、tに於けるPの速度、加速度、各々の大きさを求めよ。 まず、xとyをtについて微分します。 dx/dt=aω-aωcosωt dy/dt=asinωt …速度 v=(aω-aωcosωt,asinωt) d^2x/dt^2=aω^2sinωt d^2y/dt^2=aω^2cosωt …加速度 a=(aω^2sinωt,aω^2cosωt) よって、 |v|=√{(aω-aωcosωt)^2+(asinωt)^2}= |a|=√{(aω^2sinωt)^2+(a^2cosωt)^2}= 以上の式が上手く解けません。 sin^2θ+cos^2θ=1 を使うのかと思うのですが…… 微分の方もあっているかイマイチです。 助言よろしくお願いします。

  • ベクトル 回転 なす角

    座標空間の原点をOとし、点Q(cosα、0、sinα)|α|<π/4が与えられている。長さ1のベクトルOPはz軸の正の方向と角π/4を保ちながら一定の速さで回転し、時間2πで1まわりしている。点Pが1回転する間に2つのベクトルOPとOQのなす角がπ/2より小さくなる時間の長さは4π/3である。このとき点Qの座標を求めよ。 この問題を解いているのですが、Pの座標を(cosβ、sinβ、1/√2)とおけるでしょうか? 「2つのベクトルOPとOQのなす角がπ/2より小さくなる時間の長さは4π/3である」 というのはcosθ=ベクトルOP・OQで、β=4π/3のときにcosθ<0 ということなのでしょうか? このようにやってみても、Qの座標が出てこなくて困っています。 回答いただければありがたいです。 よろしくお願いします

  • 数学の問題教えてください

    座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x、y)が、x=sint、y=1/2(cos2t)で表されているとする。 (1)点Pが動く曲線の方程式を求めよ。 (2)点Pの速度ベクトルv↑を求めよ。 (3)点Pの加速度ベクトルa↑を求めよ。 (4)速さ|v↑|が0になるときの点Pの座標を求めよ。 どうかお願いします。

  • 極座標に関する計算

    次の関係図から関係式が得られるのですが、導出できません。 直交座標系と極座標系の関係図において、よくあるように 仰角θと方位角φと原点からの長さrのベクトルAを考えます。 その際にrからθ’だけ傾いた方向にも原点からのベクトルBを考えます。 この時に、ベクトルBの方向とZ軸の間の角度はΘです。 その際に以下の関係式が成立する…とあるのですが、 どのように導出できるのでしょうか。 どうかご教示いただけないでしょうか。 cosθ’=sinΘsinθcosφ+cosΘcosθ

  • 数学の問題です

    テストが近いので大至急お願いします 原点を出発してx軸上を運動する点Aがある 点Aは時刻tにおいて 速度v=√3・sinπt + cosπtで表される またt=0のときAは原点にいる (1)点Aが出発後初めてv=0となる座標を求めよ (2)t=3までに点Aの動いた道のりを求めよ お願いします

  • サイクロイドの問題

    半径aの車輪の円周上にある一点は、車輪が水平面を滑らずに一定の角速度ωで転がると  x=a(ωt-sinωt)、y=a(1-cosωt) であらわされる(この曲線はサイクロイド)      ・ ・         ・・  ・・ 速度=(x,y)と加速度=( x , y ) それぞれの大きさを求めよ。    2a↑Y   |    \   |角度ωt・   |     |   |     |  0---------------------→   |~aωt~」             2πa  解る方お教えください、せつめいがあると嬉しいです

  • サイクロイド 一般式の求め方

    よろしくお願いします。 サイクロイドの一般式は、半径をr,初め原点oにあった点pに対して、円がθ回転したときのpの座標を(x、y)としたとき、 x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ) と表されるとあります。 ですが、この一般式の求め方を参考書にもテキストにも載っていません。 ヒントとして、円の中心をcとして、OA=弧AP(Aは円とX軸の接点)よりOC=(aθ,a), CP=a(-sinθ, -cosθ)となるため。 とありましたが、私はよくわかりませんでした。 そこでネットでサイクロイドの媒介変数表示などで、検索したのですが、どれも、この一般式は書いているのですが、その求め方を書いていませんでした。 そこで質問なのですが、サイクロイドの一般式の求め方を書いたページはありませんでしょうか。 どなたかご存知の方があれば、教えてくださ。よろしくお願いします。

  • 座標系の回転の問題です

    大学物理入門の問題です 【問題】 空間に固定された座標系Sと、回転している別の座標系S'を考える。座標系S'は、Sに対して角速度ω=Ωi+Ωjで回転しているものとする。ただしこれらの座標系の原点は一致するとする。また、時刻t=0においてこれらの2つの座標系は一致するとする。時刻tにおいて、座標系S'のx'軸、y'軸、z'軸方向の単位ベクトルをそれぞれi'(t)、j'(t)、k'(t)とする。 時刻tにおけるベクトルi'(t)、j'(t)、k'(t)を求めよ 問題は以上です 文中のωはベクトル、i、j、kはそれぞれ座標系Sのx軸、y軸、z軸方向の単位ベクトルです できれば、ベクトルi'(t)、j'(t)、k'(t)がどのような回転をするのか、図を用いて説明していただけると嬉しいです どなたか知恵をお貸しください よろしくお願いします

  • この問題解ける人いませんか

    楕円x^2/9+y^2=1上の点をP(3cosα,sinα)(0<=α<=π/2)とし、原点Oと点Pを結ぶ線分とx軸の正の部分のなす角をθとするとき、次の問に答えろ。 (1)線分OPの長さが3/√5以上になるθの範囲を求めよ。 (2)|αーθ|の最大値をもとめよ。

  • 高校数学のベクトルのパラメータ表示の問題です

    原点をOとし平面上の2点A(0,1),B(0,2)をとる OBを直径とし点(1,1)を通る半円をTとする 長さπの糸が一端をOに固定してTに巻きつけてある この糸の他端Pを引き、それがx軸に到達するまで、ゆるむことなくほどいてゆく 糸と半円との接点をQとし ∠BAQの大きさをtとする (1)ベクトル↑OPをtを用いて表せ (2)Pが描く曲線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ (3)Pが描く曲線の誇長を求めよ ↑OP=↑OA+↑AQ+↑QP =(0,1)+{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)} とあったのですが↑OAが(0,1)は分かるのですが、↑AQ+↑QP が{cos(π/2-t),sin(π/2-t)}+t{cos(π-t),sin(π-t)}となるのが 分かりません、多分↑AQが{cos(π/2-t),sin(π/t-t)}になると思うのですが、角度がπ/2-tになるのが分かりません ↑QP の角度π-tも分からないので、よろしくです