空間ベクトルにて存在する範囲と求積応用題

質問

空間ベクトルでの主に存在範囲を問う数B問題です。

以下問題文です。

0°≦α≦120°，0°≦β≦120°とする。座標平面上に，3点
　　Ｏ（0，0），Ａ（2√3，-2√6），Ｂ（2√6，2√3）
があり，点Ｐは
　　ＯＰベクトル＝ＯＡベクトルcosα+ＯＢベクトルsinβ
を満たしている。

（1）cosα，sinβのとり得る値の範囲は
　　【　1　】≦cosα≦【　2　】，【　3　】≦sinβ≦【　4　】
である。

（2）点Ｐの存在する範囲は【正方形　長方形　ひし形　平行四辺形】の内部および周である。いずれか選べ。
また，その図形の面積は【　5　】である。

（3）α＝βとする。｜ＯＰベクトル｜^2＝【　6　】であるから，点Ｐの存在する範囲は半径【　7　】の円の弧で，その弧の長さは【　8　】πである。

空間的な概念理解はとりわけ不得手ですので
方針をご指導頂ける方，何卒宜しくお願い致します。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

それではもう少し...
OA=(a,b)，OB=(c,d)，OP=OAcosα+OBsinβ=(e,f)のとき，

(2)で使いそうな事項は
|OA|^2=a^2+b^2 (三平方の定理)
|OB|^2=c^2+d^2 (三平方の定理)
OA・OB=(ac,bd) (内積)
cos(角AOB)=OA・OB/(|OA|*|OB|)
Pの動く範囲は一般には平行四辺形で，たまたま角AOBが直角なら長方形，さらにたまたまOA方向に動く距離とOB方向に動く距離が等しければ正方形。
(Pの動く範囲の面積)=(OA方向に動く距離)*(OB方向に動く距離)*sin(角AOB)

(3)で使いそうな事項は
|OP|^2=e^2+f^2 (三平方の定理)
(弧の長さ)=(半径)*(円周角)

これだけです。問題に与えられている数値を代入すれば，計算できるでしょう。

お礼

f272さん，度重なるご回答ありがとうございます。

非常に丁寧に穴埋め形式の解答を作成して頂き，
早速活用しました。
スムーズに解くことができ大変参考になりました。

引き続き類題挑戦したいと思います。
疑問浮上の際には再度お伺いすると思いますが
その際には宜しくお願い致します。

回答No.4

f272

#2で
(弧の長さ)=(半径)*(円周角)
と言ったけど，本当は
(弧の長さ)=(半径)*(中心角)
でしたね。気になったのでひと言。

お礼

f272さん、ご懇意に与っております。

ご指導によって正答に辿り着きました。
過程において補足頂戴しました，
「弧の長さ」についての式も
その一式の形で閃き本質を理解できました。

ご訂正お心遣い賜り恐れ入ります。

回答No.3

noname#108210

（２）については（１）の値が求まっているようですから，ＯＰベクトルの図をイメージしてみてはいかがですか？（１）の最大，最小の値で調べられます．
（３）は，ベクトルの大きさの２乗を計算してみてください．円弧の一方の端は，（２）の存在する範囲内で考えましょう．２辺の長さが３と６の直各三角形が作れますから，その内角はすぐに求まります．それから，円弧の中心角も判明します．

お礼

OKOKWaveIDさん，ご回答誠にありがとうございます。

ご指摘の「ＯＰベクトルのイメージ」ですが，
「ベクトルの実数倍」から導入を探りました。
その他ご指摘頂いた過程も踏まえることで指針と
なりました。

改めて問題に挑戦したいと思います。
ご助力感謝致します。

回答No.1

f272

この問題で，空間的な概念理解がどこに必要なんだろうか？単純な平面図形の問題にすぎないだろう。
例えば(1)は，0°≦α≦120°のときにcosαのとりうる範囲はどうか聞いているだけなので，三角関数の初歩ですね。
(2)はベクトルの絶対値と内積を分かっていれば出来るだろうし，(3)もその流れで計算すればよい。

具体的に自分の考えた答えを書いてみてね。添削する人がいっぱいいますから。

お礼

f272さん，ご回答ありがとうございました。

恥ずかしながら私の不備であり，申し訳ありません。
全く空間概念は必要としませんでした。
私の思い過ごしでした。

当方ベクトルの中でも殊，ベクトル方程式からの
複合題が不得手であるのでお知恵を賜ればと
ご助力仰いだ次第です。

ご指摘の後，基本内容を振り返ったところ
【1】＝-1/2，【2】＝1，【3】＝0，【4】＝1
までは導出されました。
ただ，（2）以降申し上げた通りベクトル方程式の
存在範囲の図示が思うように理解に結びつかず，
恐縮ですが方針を請うてる状態です。

漠然と「ベクトルの足し算」と狭い視野での
考えに留まっている為打開策を
講じて頂ければ幸いです。