ベクトル 空間における平面上の位置ベクトル

質問

こんばんは、公式？？の内容みたいなことについて、質問です。

空間におけるベクトルＡＢベクトル、ＡＣベクトルは（ＡＢ、ＡＣベクトル≠０ベクトル、　ＡＢベクトル平行ではない）を満たし、三点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面をＨとする。
このとき、点ＰがＨ上にある⇔ＯＰベクトル＝ＯＡベクトル　＋αＡＢベクトル＋βＡＣベクトル　と表される・

とありますが、どうして、ＡＢベクトルや、ＡＣベクトルはα、βを使って表しているのに、ＯＡベクトルはそのままなのですか？？
すみません、ベクトルが苦手で、低レベルな質問ですが、回答お願いします…

回答No.5

noname#57316 · ベストアンサー

ある点を起点とした平行でない、そして重ならない二つのベクトルにより、ベクトルの大きさが
どうであれ、一つの平面が定まります。その平面上の点は、この二つのベクトルによって表わ
されますが、これは、ちょうどX軸、Y軸を二つのベクトルとみなし、X-Y平面上の点を定める
のに似ています。
今、点A、原点Oは決まっているので、原点から平面上の点Pへ向かうベクトルOPは、先ず原点O
から平面上で起点となっている点Aに到達すれば、後は、（X-Y平面上の点を定めるのに似て）、
AB-AC平面上の座標（α,β）の点として表わされます。

お礼

わかりました！！ありがとうございました！

回答No.4

Duke_Mike

この問題は簡単そうに見えて意外に難しいものだと思います。
公式として覚えるのもいいですが、ここは少々説明をばさせていただきます。

たとえば
独立なベクトルABベクトルとACべクトルがあるとき、
ABとACのベクトルを含むベクトルはAを基準としたとき、
H上の点Pを表すとき、

APベクトル＝αABベクトル＋βACベクトル

で表されるということは分かるでしょうか？
この式の変形で導くことができます。

基準を点Aから原点に持ってきます。その様に式を変形すると、
（ベクトルと入れるとややっこしいので以後抜きます）

左辺＝OP－OA

となります。

こうすれば、簡単でしょう？

OP－OA＝αAB＋βAC
OP＝OA＋αAB＋βACと導けます。

式的に考えるとこうなりますが、図形的にも考えると、
APベクトルで平面上の点を描くことができますが、
Oを基準とする場合、しっかりと点Pを表記しなければいけない
必要性がある。だからPの位置をOP＝OA+APとした。というだけの事だと
考えればいいのではないでしょうか？

要するにベクトルもしくは座標の原点をどこに置くかという問題が
この質問の最良の回答だと思われますがいかがでしょうか？

それでは良いお年を!!

お礼

わかりました！！ありがとうございました！

回答No.3

aqfeplus

γOAベクトルのように係数γを入れてしまうと、平面H上に無い点となってしまいます。
平面Hに（1-γ）OAベクトルほど届きません。

ちなみに、、、

点ＰがＨ上にある
⇔APベクトル＝αABベクトル＋βＡＣベクトル

は、分かりますよね？
それに両辺にOAベクトルを加えて、

（左辺）＝OAベクトル＋APベクトル＝OPベクトル
（右辺）＝OAベクトル＋αABベクトル＋βＡＣベクトル

となり、（係数のつかない）OAベクトルが右辺に現れることになります＾＾

お礼

わかりました！！ありがとうございました！

回答No.2

exodus55

理系の大学生です。

まずxyz平面を考えてください。原点をＯとします。その空間に質問者様が言っている平面Ｈがあるとします。（空間に板があるような感じです。）その板の上に点Ａというのがあるんですよね？そこからスタートしてベクトルＡＢとベクトルＡＣがあるんです。
その板上の点Ｐを表すのにベクトルＯＰというのを考えていますね？そうなるとＯから始まるんですから、とりあえず点Ｏから板上の点Ａに行くんです。もう板上の点にいるんですから次はＡを始点に考えてＡＢとＡＣで考えればいいんです。

計算式で言えば（もうベクトルは省略します。）
OP=OA+αAB+βAC
AP-A0=OA+αAB+βAC
AP=AO+OA+αAB+βAC
AP=-OA+OA+αAB+βAC
AP=αAB+βAC

こう書いたほうが分かりやすいですかね？

お礼

わかりました！！ありがとうございました！

回答No.1

felicior

＞ＯＰベクトル＝ＯＡベクトル＋αＡＢベクトル＋βＡＣベクトル
点Ｏから点Ｐまで行くにはどうしたらよいかという観点で式を見てください。
ＡＢベクトルとＡＣベクトルは平面Ｈ内しか動けないし、
点Ｏが平面Ｈに含まれているとは限らないので、まずＯＡベクトル
を使って平面Ｈ上にある点Ａまで行かないといけないからです。
係数が一つだけ付かないのが気になるなら、
ＯＰベクトル－ＯＡベクトル＝αＡＢベクトル＋βＡＣベクトル
ＡＰベクトル＝αＡＢベクトル＋βＡＣベクトル
のように変形して覚えましょう。こちらの方が基本的な式です。

お礼

わかりました！！ありがとうございました！