空間ベクトルを教えてください。

質問

四面体ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＡＣ、ＡＤをそれぞれ１：１，２：１，３：１に内分する点をＰ、Ｑ、Ｒとする。点Ｄと△ＰＱＲの重心Ｇを通る直線が平面ＡＢＣと交わる点をＨとするとき、ＡＨベクトルをＡＢベクトル＝ｂベクトル，ＡＣベクトル＝ｃベクトルで表せ。

この問題がいくら考えてもわかりません。式も付けてお願いします。

回答No.2

ichiro-hot

●　
１）空間ベクトルを表すには、二つのベクトルでは無理なので、もう一つベクトルが必要だ。その1つはＡＤベクトルをとるのが一番簡単だろう。これをｄベクトルとしよう。（　以下a，ｂ，ｃはベクトルです。矢印を書けないので注意。（ｖ）を着けたらベクトルと読み替えてください。）
２）ＡＨベクトルは三角形ＡＢＣの平面内のベクトルで有るから、
　ＡＨベクトル＝ｍ・ｂ＋ｎ・ｃ；m，ｎは媒介変数
と二つの変数m，ｎを使って書ける。
３）三角形の重心のベクトル公式が使える。
４）AHベクトルは題意からAGベクトルの延長線上にある。
５）２）で作ったAH（ｖ）と４）で作ったAH（ｖ）が同じになるはず。

以上を用いて解いて行こう。

AD(v)をｄとする。
PQRのとり方から，
　AP（ｖ）＝(１/２）・ｂ，AQ（ｖ）＝（２/３）・ｃ，AR（ｖ）＝（３/４）・ｄ
ΔPQRの重心をHとするとAG（v)は重心の公式より，
　AG(ｖ）＝(１/３）｛(１/２）・ｂ＋（２/３）・ｃ＋（３/４）・ｄ｝
　　　　　＝(１/６）・ｄ＋（２/９）・ｃ＋（１/４）・ｄ
題意より（上記の４）から），
　AH(v)＝ｄ＋ｋ・DG(v)　；ｋは媒介変数
　ここで，
　DG(v)＝AG(v)－AD(v)
　　　　　＝｛(１/６）・ｂ＋（２/９）・ｃ＋（１/４）・ｄ｝－ｄ
　　　　　＝(１/６）・ｂ＋（２/９）・ｃ-（３/４）・ｄ
∴AH(v)＝ｄ＋ｋ・｛(１/６）・ｂ＋（２/９）・ｃ-（３/４）・ｄ｝
　　　　　＝｛(１/６）・ｋ・ｂ＋（２/９）・ｋ・ｃ＋｛１－（３/４）・ｋ｝・ｄ
これがｍ・ｂ＋ｎ・ｃと等しいのだから，
　ｍ・ｂ＋ｎ・ｃ＝｛(１/６）・ｋ・ｂ＋（２/９）・ｋ・ｃ＋｛１－（３/４）・ｋ｝・ｄ
●左辺にはｄベクトルが無いから，右辺にもｄが有ってはならない。
＜※ここの発想が重要ですよ！！＞
●そのためには｛１－（３/４）・ｋ｝＝０であればよい。
　∴ｋ＝４/３
両辺を比較して、
　ｍ＝(１/６）・ｋ＝(１/６）・（４/３）＝２/９
　ｎ＝（２/９）・ｋ＝（２/９）・（４/３）＝８/２７
∴AH(v)＝ｍ・ｂ＋ｎ・ｃ＝（２/９）・ｂ＋（８/２７）・ｃ

お礼

ありがとうございます。わかりやすかったので助かりました。

回答No.1

R_Earl

> この問題がいくら考えてもわかりません。式も付けてお願いします。

自力でどこまでやったかを書かないと、質問自体が削除されます
（少なくとも現時点ではですが）。
とりあえずヒントを書いておきます。

考える順番としては、次の通りです。

(1) 点Gを通る直線を考えるので、まずAGベクトルを求める。
(2) AHベクトルを求める。

(1) AGのベクトル
bベクトルとcベクトルだけでは、△ABCを含む平面上の点しか表せません。
というわけで、bベクトルとcベクトルだけではAGベクトルは求められません。

3次元空間上の点を決定するには、3つのベクトルが必要です。
そこで暫定的にADベクトル = dベクトルというものを勝手に作って考えます。
まずb, c, dベクトルを使ってAGのベクトルを表しましょう。

(2) AHベクトル
AHベクトルを求めるには、
「点Aからスタートして点Hに行くにはどうしたらいいか？」
ということを考えます。
今回は「点Dと△PQRの重心Gを通る直線が平面ABCと交わる点をHとする」
となっているので、

[1] まず点Aから点Dに向かう
[2] 次に点Dから点Gを通り、そのまま直進して点Hに着く

と考えます。
これをそのまま式にすると次のようになります。

(AHベクトル) = (ADベクトル) + k(DGベクトル)　（kは定数です）

(ADベクトル)が[1]を表し、k(DGベクトル)が[2]を表します
（点Hは線分DGを何倍かした先に存在するのですが、「何倍」したかは現時点では分かりません。
なのでとりあえずk倍とおいています）。

AHベクトルは△ABCを含む平面上の点Hを指し示すため、
bベクトルとcベクトルのみで表せます。
つまりAHベクトルの中にはdベクトルの成分は存在しません。
なので(AHベクトル) = (ADベクトル) + k(DGベクトル)の式の右辺から
dベクトルの成分を全て消してしまうように、kの値を定めて下さい。