数B 空間ベクトル

質問

四面体ABCDの辺BCの中点をP、線分ＰＤの中点をQ、線分AQの中点をRとする。また、直線BRと平面ACDの交点をＳとする。
ASベクトルをACベクトル=cベクトル、ADベクトル=dベクトルで表せ。

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

＞ベクトルACを↑AC(他も同様)と書くと、
点Sは△ACD上にあるので、u、vを実数として
↑AS=u↑AC+v↑ADであり、又、点Sは↑BRの延長上にあるので、
wを実数として↑AS=↑AB+w↑BRと表せる。
↑AB+↑BR=↑AR、AR=(1/2)↑AQだから↑BR=(1/2)↑AQ-↑AB
↑AB+↑BP+↑PQ=↑AQ、↑BP=(1/2)↑BC、↑AB+↑BC=↑ACだから
順番に代入して
↑BP=(1/2)↑BC=(1/2)(↑AC-↑AB)・・・・・(1)
↑AQ=↑AB+↑BP+↑PQ=↑AB+(1/2)(↑AC-↑AB)+↑PQ
=↑AB+(1/2)↑AC-(1/2)↑AB+↑PQ
=(1/2)↑AB+(1/2)↑AC+↑PQ・・・・・(2)
↑PQ=(1/2)↑PDに↑AB+↑BP+↑PD=↑ADを代入して
↑PQ=(1/2)(↑AD-↑AB-↑BP)
(1)を代入して
↑PQ=(1/2){↑AD-↑AB-(1/2)(↑AC-↑AB)}
=(1/2)↑AD-(1/4)↑AB-(1/4)↑AC
これを(2)に代入
↑AQ=(1/2)↑AB+(1/2)↑AC+(1/2)↑AD-(1/4)↑AB-(1/4)↑AC
=(1/4)↑AB+(1/4)↑AC+(1/2)↑AD
↑AB+↑BR=↑AR=(1/2)↑AQ=(1/8)↑AB+(1/8)↑AC+(1/4)↑ADから
↑BR=(1/8)↑AB+(1/8)↑AC+(1/4)↑AD-↑AB
=-(7/8)↑AB+(1/8)↑AC+(1/4)↑AD
最初の2式から(↑AS=)u↑AC+v↑AD=↑AB+w↑BR
これに上で得た↑BRを代入すると
u↑AC+v↑AD=↑AB+w{-(7/8)↑AB+(1/8)↑AC+(1/4)↑AD}
整理すると
{1-(7/8)w}↑AB+{(1/8)w-u}↑AC+{(1/4)w-v}↑AD=0
↑AB、↑AC、↑ADは独立だから、この等式が成り立つのは
{1-(7/8)w}={(1/8)w-u}={(1/4)w-v}=0のときである。
解くとw=8/7、u=1/7、v=2/7
u、vを最初の式に代入して
↑AS=(1/7)↑AC+(2/7)↑AD=(↑c+2↑d)/7・・・答

回答No.4

noname#215361

ヒントに止めておきたいのは山々ですが、答えを出します。

簡単のため、「ベクトル」という表記を全て省略します。
AP=b+BC/2=b+（c-b）/2=b/2+ｃ/2
PQ=PD/2=（ｄ－AP）/2=d/2-（b/2+c/2）/2=d/2-b/4-c/4
AR=AQ/2=（AP+PQ）/2=（b/2+c/2+d/2-b/4-c/4）/2=b/8+c/8+d/4
BR=AR-b=b/8+c/8+d/4-b=c/8+d/4-7b/8
AS=b+kBR=b+k（c/8+d/4-7b/8）=kc/8+kd/4+（1-7k/8）b
ANo.1で触れたように、1-7k/8=0→k=8/7
これから、AS=8/7/8*c+8/7/4*d=c/7+2d/7
元の表記に戻すと、ASベクトル=cベクトル/7+2dベクトル/7

回答No.3

noname#215361

ANo.2の訂正です。（ANo.2は無視してください。）

もう少し予測すると、BRベクトルを求め、
ASベクトル=bベクトル+k*BRベクトル=l*cベクトル+m*dベクトル
が成り立つような連立方程式を解いて、lとmを求めることになると思います。

回答No.2

noname#215361

ANo.1の補足です。

もう少し予測すると、BRベクトルを求め、
ASベクトル=k*BRベクトル=l*cベクトル+m*dベクトル
が成り立つような連立方程式を解いて、lとmを求めることになると思います。

回答No.1

noname#215361

四面体ABCDの各頂点は同一平面上にはないので、便宜的にABベクトル=bベクトルとして、与えられた条件に従って式を組み立てます。
交点Sが平面ACD上にあるので、便宜的にABベクトル=bベクトルとして組み立てた式のbベクトルの係数が0になります。
この方針で考えてみてください。