数学B(ベクトル)の回答と解説
- 数学B(ベクトル)の回答と解説をご紹介します。この記事では△ABCの内分点や重心を利用して、ベクトルADやベクトルAGをベクトルABとベクトルACで表す方法を解説しています。
- さらに、ベクトルBE＝ｋベクトルBGとなる場合におけるベクトルAEの表し方や、直線AD上にある点EにおけるベクトルAEの表し方についても詳しく解説しています。
- 最後に、点Eを利用してベクトルABとベクトルACをベクトルAEとベクトルAGで表す方法も紹介しています。数学Bのベクトル問題について知りたい方は、ぜひこの記事をご覧ください。
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数学Ｂ(ベクトル)の回答&解説をお願いします。
ーーーーーーーーーーーーーーー △ABCにおいて、辺BCを2:1に 内分する点をD、△ABCの重心 をGとする。 ーーーーーーーーーーーーーーー (１)ベクトルAD,ベクトルAGを ベクトルAB,ベクトルACを 用いて表せ。 ーーーーーーーーーーーーーーー (２)ｋを実数として ベクトルBE＝ｋベクトルBG とおくとき。 (i)ベクトルAEを ｋ,ベクトルAB,ベクトルACを 用いて表せ。 (ii)Eが直線AD上にあるとき、 ベクトルAEを ベクトルAB,ベクトルACを 用いて表せ。 ーーーーーーーーーーーーーーー (３)Eは(2) (ii)で定めた点とする。 ベクトルAB,ベクトルACを ベクトルAE,ベクトルAGを 用いて表せ。 ーーーーーーーーーーーーーーー
- mnp0215
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(１)ベクトルAD,ベクトルAGを ベクトルAB,ベクトルACを 用いて表せ。 ＞ベクトルを↑で表します。 ↑AD=↑AB+(2/3)↑BC=↑AB+(2/3)(↑AC-↑AB) =(1/3)↑AB+(2/3)↑AC・・・答 ↑AG=(2/3){↑AB+(1/2)↑BC}=(2/3)↑AB+(1/3)(↑AC-↑AB) =(1/3)↑AB+(1/3)↑AC・・・答 ーーーーーーーーーーーーーーー (２)ｋを実数として ベクトルBE＝ｋベクトルBG とおくとき。 (i)ベクトルAEを ｋ,ベクトルAB,ベクトルACを 用いて表せ。 ＞↑BG=↑AG-↑AB=(1/3)↑AB+(1/3)↑AC-↑AB=-(2/3)↑AB+(1/3)↑AC ↑AE=↑AB+↑BE=↑AB+k↑BG=↑AB+k{-(2/3)↑AB+(1/3)↑AC} ={1-(2k/3)}↑AB+(k/3)↑AC・・・答 (ii)Eが直線AD上にあるとき、 ベクトルAEを ベクトルAB,ベクトルACを 用いて表せ。 ＞sを実数として s↑AE=↑ADだから s{1-(2k/3)}↑AB+s(k/3)↑AC=(1/3)↑AB+(2/3)↑AC s{1-(2k/3)}=(1/3)、s(k/3)=2/3からk=6/5 ↑AE={1-(2k/3)}↑AB+(k/3)↑AC ={1-2*6/(3*5)}↑AB+{6/(3*5)}↑AC =(1/5)↑AB+(2/5)↑AC・・・答 ーーーーーーーーーーーーーーー (３)Eは(2) (ii)で定めた点とする。 ベクトルAB,ベクトルACを ベクトルAE,ベクトルAGを 用いて表せ。 ＞ ↑AE=(1/5)↑AB+(2/5)↑AC ↑AG=(1/3)↑AB+(1/3)↑ACを連立で解いて ↑AB=6↑AG-5↑AE・・・答 ↑AC=5↑AE-3↑AG・・・答
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- gohtraw
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いかん、（２）と（３）計算間違い。 （２） ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ なので、 ＡＥ＝ＡＢ＋ｋ・ＢＧ 上記の（☆）より ＢＧ＝（－２ＡＢ＋ＡＣ）／３なので、 ＡＥ＝ＡＢ＋ｋ（－２ＡＢ＋ＡＣ）／３ ＝（（３－２ｋ）ＡＢ＋ｋ・ＡＣ）／３ ・・・（う） ＡＤ＝（ＡＢ＋２ＡＣ）／３なので、ＡＥは実数ｓを用いて ＡＥ＝ｓ（ＡＢ＋２ＡＣ）／３ ・・・（え） （う）と（え）を比較して ｓ＝３－２ｋ ｋ＝２ｓ よってｓ＝３／５、ｋ＝６／５ となり、これらを（う）または（え）に代入して ＡＥ＝（ＡＢ＋２ＡＣ）／５ （３） ＡＧ＝（ＡＢ＋ＡＣ）／３ ・・・（お） ＡＥ＝（ＡＢ＋２ＡＣ）／５ ・・・（か） なので、 （か）＊５－（お）＊３をとると、 ５ＡＥ－３ＡＧ＝ＡＣ よってＡＣ＝５ＡＥ－３ＡＧ また、（お）＊３－（か）＊５／２をとると ３ＡＧ－５ＡＥ／２＝ＡＢ／２ よって ＡＢ＝６ＡＧ－５ＡＥ
- gohtraw
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ベクトル記号は省略します。 （１） AD=AB＋２ＢＣ／３ ＝ＡＢ＋２（ＡＣ－ＡＢ）／３ ＝（ＡＢ＋２ＡＣ）／３ 重心は中線（ある頂点と、その対辺の中点を結ぶ線）の交点なので、 ＢＣの中点をＰとすると ＡＰ＝（ＡＢ＋ＡＣ）／２ であり、実数ｕを用いて ＡＧ＝ｕ・ＡＰ ＝ｕ（ＡＢ＋ＡＣ）／２ ・・・（あ） と表すことができます。 同様にＡＣの中点をＱとすると ＢＱ＝（ＢＡ＋ＢＣ）／２ 実数ｖを用いて ＢＧ＝ｖ・ＢＱ ＝ｖ（ＢＡ＋ＢＣ）／２ ＝ｖ（－ＡＢ＋ＡＣ－AB）／２ ＝ｖ（－２ＡＢ＋ＡＣ）／２ ・・・（☆） よって ＡＧ＝ＡＢ＋ＢＧ ＝（（２－２ｖ）ＡＢ＋ｖ・ＡＣ）／２ ・・・（い） と表すことができます。（あ）と（い）を比較して ２－２ｖ＝ｕ ｕ＝ｖ よってｕ＝ｖ＝２／３となり、これを（あ）に代入して ＡＧ＝（ＡＢ＋ＡＣ）／３ （２） ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ なので、 ＡＥ＝ＡＢ＋ｋ・ＢＧ 上記の（☆）より ＢＧ＝（－２ＡＢ＋ＡＣ）／３なので、 ＡＥ＝ＡＢ＋ｋ（－２ＡＢ＋ＡＣ）／３ ＝（（１－２ｋ）ＡＢ＋ｋ・ＡＣ）／３ ・・・（う） ＡＤ＝（ＡＢ＋２ＡＣ）／３なので、ＡＥは実数ｓを用いて ＡＥ＝ｓ（ＡＢ＋２ＡＣ）／３ ・・・（え） （う）と（え）を比較して ｓ＝１－２ｋ ｋ＝２ｓ よってｓ＝１／５、ｋ＝２／５ となり、これらを（う）または（え）に代入して ＡＥ＝（ＡＢ＋２ＡＣ）／１５ （３） ＡＧ＝（ＡＢ＋ＡＣ）／３ ・・・（お） ＡＥ＝（ＡＢ＋２ＡＣ）／１５ ・・・（か） なので、 （か）＊５－（お）をとると、 ５ＡＥ－ＡＧ＝ＡＣ／３ よってＡＣ＝１５ＡＥ－３ＡＧ また、（お）＊２／５－（か）をとると ２ＡＧ／５－ＡＥ＝ＡＢ／１５ よって ＡＢ＝６ＡＧ－１５ＡＥ
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