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ベクトルと平面図形

ABベクトルを「→AB」と表します。 --------------------問題------------------ △OABと→PO+3→PA+4→PB=→0を満たす内部の点Pがある。 直線OPと線分ABの交点をQとする。 →OQを→OA、→OBを用いて表せ。 ------------------模範回答----------------- →PO+3→PA+4→PB=0より -→OP+3→(→OA-→OP)+4(→OB-→OP)=→0 -8→OP=-3→OA-4→OB →OP=3→OA+4→OB/8    =7/8・3→OA+4→OB/7 よって →OQ=3→OA+4→OB/7 という問題なのですが、どうしたら「よって」になるのでしょうか? →OP=7/8→OQと言うことなのでしょうが、どのように求まるのでしょうか?

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  • 回答No.3

線分AB上の点Qが、線分ABの点Qは、 OQ→=t・→OA+(1-t)・→OB とあらわすことができます(0=<t=<1)。   ※たとえば、線分AB上の点Qが線分ABをm:nに    内分しているとすると、     OQ→=n/(m+n)→OA+m/(m+n)→OB    が成り立ちます。これも、t=n/(m+n)とすれば、    上記と同じですね。 すなわち、線分AB上の点の場合、→OAと→OBの前の 係数を足し算すると1となります。 この回答の場合、→OP=(3→OA+4→OB)/8であるので、 →OA、→OBの前の係数はそれぞれ3/8と4/8なので、 係数の和が1となるように変形すると、 →OP=3/8→OA+4/8→OB    =7/8・(3/7→OA+4/7→OB) となり、3/7→OA+4/7→OBがAB上の点Qの→OQ を表すことになります。「よって」はこの意味となります。 この問題をとくあたっては、点Qが直線OP上にあるから、 →OQ=k・→OP と置くことができます。 また、点QはAB上の点だから   →OQ=t・→OA+(1-t)・→OB と置く。 →PO+3→PA+4→PB=0より    →OP=3/8→OA+1/2→OBと変形できます。 よって、  →OQ=k・(3/8→OA+1/2→OB)     =3k/8→OA+k/2→OB そのため、 t・→OA+(1-t)・→OB=3k/8→OA+k/2→OB がなりたち、  t=3k/8  1-t=k/2 この連立方程式を解いて、k=8/7 t=3/7 よって、 →OQ=3/7→OA+4/7→OB このように解くこともできます。

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質問者からのお礼

詳しい解説ありがとうございます。 内分点の公式はそういう構造で出来ていたんですね。 「よって」では説明不足のような気がします… 問題をやって慣れるのがよさそうですね。 別解までありがとうございます。 折角なので、両方とも使えるようにします。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • nettiw
  • ベストアンサー率46% (60/128)

>> ↑OP={3↑OA+4↑OB}/8 >> 直線OPと線分ABの交点をQとする。 この条件は、 ↑OQ=t↑OP ↑OQ=(1-s)↑OA+s↑OB・・・(係数の和が1)。 と書けるので、 ↑OQ=t↑OP=t【{3↑OA+4↑OB}/8】   (3/8)t+(4/8)t=1            t=(8/7) ↑OQ=(8/7)【{3↑OA+4↑OB}/8】     ={3↑OA+4↑OB}/7 解説は、 ↑OQは↑OPの実数倍⇔↑OPは↑OQの実数倍である事と、 ↑OQを↑OAと↑OBを用いて表したとき、      ↑OAと↑OBの係数の和が1になればいい事を使用して、 この条件に合うように、 ↑OP={3↑OA+4↑OB}/8     =(7/8)【{3↑OA+4↑OB}/7】 と変形して、 {3↑OA+4↑OB}/7 は↑OQ そのものであると・・・。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >↑OQ=(1-s)↑OA+s↑OB・・・(係数の和が1) >↑OQ=t↑OP をしっかり理解する必要がありそうですね。

  • 回答No.2

よっての前から。 →OP=3→OA+4→OB/8    =7/8・3→OA+4→OB/7 ここで、OからABを4:3に内分する点をRとすると、 →OR=3→OA+4→OB/7となり →OP=7/8・→ORなので→ORは→OPを延長したベクトルでありかつ、ABの内分点までのベクトルなので、RはQと一致する。 よって、→OQ=3→OA+4→OB/7

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。 内分点ですか…!それには気づきませんでした。 慣れると自然に閃くのでしょうか、、、?

  • 回答No.1
noname#75273
noname#75273

テイセキで解くと vec(OP) = ( 3 / 8 ) * vec(OA) + ( 1 / 2 ) * vec(OB) ここで、 vec(OQ) = t * vec(OP) とおくと、 vec(OQ) = ( 3 t / 8 ) * vec(OA) + ( t / 2 ) * vec(OB) また、 点 Q は辺 AB 上のであるため、 ( 3 t / 8 ) + ( t / 2 ) = 1

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質問者からの補足

vec…ですか。 私は文系なので詳しく分からないのですが、 どういったものでしょうか?

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