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数学の問題解説：動点PとQの距離の最大値と最小値を求める方法
- 数学の問題で、動点PとQの距離の最大値と最小値を求める方法について解説します。
- 問題の設定に基づき、動点PとQの位置をベクトルで表し、時間による位置の変化を考えます。
- ベクトル演算を用いてPQの距離を求め、それを最大値と最小値として解答します。
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1秒間でPは4π、Qは2π移動するのではないか？と思い ↓↓↓ １秒間にちょうど１周、２周するから、 円周の長さ 2πr を使って、 動点Ｐは、１秒間に半径１の円を２周するから、１秒間に円周上を 2π×1×2=4π だけ移動します。 また、動点Ｑは、１秒間に半径２の円を１周するから、１秒間に円周上を 2π×2=4π だけ移動します。 だから、Ｑは2π移動 はまちがいで、解答が正しいです。 最初の方の回転角の設定はどういうふうに考えればよいのでしょうか ↓↓↓ t秒後のＰ，Ｑの回転角をそれぞれα、θ とおくと、 α と θ の関係は、 Ｐは１秒間に２周し、Ｑは１秒間に１周するから α，θの比は α：θ=2：1 α=2θ になります。 -・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・- ここで、 回転角は、xy平面では、 原点を中心に、x軸の正の方向の半直線を反時計回りに回転させます。（これが正の向き） このとき、x軸の正の方向の半直線が ０ の位置（動径）になります。 -・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・- 原点をＯ、また、Ａ(4.0),Ｂ(1.0),Ｃ(4.2),Ｄ(6, 0)とすると、 Ｐ，Ｑの回転した角はそれぞれ ∠ＰＯＢ=α ∠ＱＡＣ=θ となりますが、 Ｑは、はじめ Ｃ の位置にいることから、 すでに、 ∠ＣＢＤ=π/2 回転していることになります。 だから、 ∠ＱＢＤ=∠ＱＢＣ+∠ＣＢＤ=θ+π/2 になります。 ということで、 ベクトルＯＰ=(cosα,sinα)=(cos2θ,sin2θ) ベクトルＯＱ=ベクトルＯＢ+ベクトルＢＣ =(4,0)+(2cos(θ+π/2),2sin(θ+π/2)) =(4-2sinθ,2cosθ) ・・・・・・（ア） となります。（解答の通りです。） ちなみに、 θのとりうる範囲は Ｑが１秒間に１周することから 0<=t<=1 より 0<=θ<=2π ですね。 θ=0 のとき ＱはＣ(4,2)の位置にあるから、 （ア）に θ=0 を代入してみて下さい。 ベクトルＯＱ=(4-2sin0,2cos0)=(4,2) とＣの座標になります。 回転は、 ＢＣ（スタートの位置）が ０ ではなく、 x軸の正の方向が ０ になります。 （← これを意識して下さい。）
