• 締切済み
  • すぐに回答を!

最大値・最小値の問題(三角比)

次の関数の最大値・最小値およびその時のθの値を求めよ y=sin^4θ+cos^4θ(0°≦θ≦180°) 自分はcos^2=tとおいてy=2t^2ー2t+1とやって 平方完成して-1≦cosθ≦1の範囲で考えてt=1/2の時、最小値1/2になってt=-1の時に最大値5になったのですが、解答を見たらsin^2θ =tと置いていて、最小値は合ってたのですが、最大値がt=0、1の時最大値1になってて、計算ミスしたのかなぁと思って計算しなおしたのですが何度やってもt=-1の時に最大値5になってしまうのですが、ただの計算ミスなのでしょうか?後、解答ではt=0となるのはsin^2θ=0から θ=0°180°、t=1となるのは sin^2θ=1から θ=90°t=1/2となるのは・・・・・となっていたのですが、t=0の時、sinθ=0だとθ=0°180°、t=1の時 sinθ=1だと θ=90°・・・となるのは納得できるのですが、なぜsinが2乗されていてもθが同じなのでしょうか? 長々と長文すみません。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数5
  • 閲覧数676
  • ありがとう数6

みんなの回答

  • 回答No.5
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

#4です。 質問者さんのやり方の検証 訂正しながら正解を書きます。 > 自分はcos^2(θ)=t(0≦t≦1…■)とおいて > y=2t^2-2t+1とやって > 平方完成して y=2(t^2-t)+1=2{t-(1/2)}^2+(1/2) > 0≦t≦1の範囲で考えて > t=1/2の時、最小値1/2になって >t=0または1 の時に最大値1になる << t=-1とはならないですよ。ここが間違いです。>> >>t=-1…◆の時に最大値5になってしまうのですが、ただの計算ミスなのでしょうか? 単純な勘違いです。計算ミスではないです。 このような間違いを防ぐには、変数をθからtに置き換えた■のところで 置き換えた後のtの範囲を必ず明記することを実行することです。 そうすれば◆のところで t=cos^2(θ)=-1とおくようなミスを防止できますね。 まず、自分のやった解答の間違い箇所を正しく認識し、そして正解に持っていくことが大切です。自分の解答が間違っていたら、それをほっておいて、解答集の解答に走る事は自分の実力にはなりません。 問題の解答は何通りもあります。A#4のように。 自分のやり方で、正解を作れる事が一番重要で、自分の実力になります。 よく考えて、必ずこの方法で解けるんだという信念をもって取り組む事。それが確実にできるようになったら、よりスマートな別解と比較して消化するようにするといいかと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.4
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

y={sin(θ)}^4+{cos(θ)}^4 =[{sin(θ)}^2+{cos(θ)}^2]^2-2{sin(θ)}^2{cos(θ)}^2 =1-(1/2){2sin(θ)cos(θ)}^2 =1-(1/2){sin(2θ)}^2 =1-(1/4){1-cos(4θ)} =(3/4)+(1/4)cos(4θ) cos(4θ)=1のときyの最大値(3/4)+(1/4)=1 この時のθは 0°≦θ≦180°から0°≦4θ≦720°であるから  4θ=0°,360°,720°∴θ=0°,90°,180° cos(4θ)=-1のときyの最小値(3/4)-(1/4)=1/2 この時のθは 0°≦θ≦180°から0°≦4θ≦720°であるから  4θ=180°,540°∴θ=45°,135° となります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

ミスった。。。。笑 >-1≦sin2θ≦1より 1/2≦y≦3/2。最大値は 2θ=3π/2、最小値は 2θ=π/2の時。         ↓ -1≦sin2θ≦1より、0≦(sin2θ)^2≦1であるから、1/2≦y≦1。最大値は 2θ=3π/2、π/2、最小値は 2θ=0、π、の時。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

質問の回答は他の人がやってくれるだろうから、どうせならもっと簡単にやろうよ。。。。。笑 y=sin^4θ+cos^4θ=(sin^2θ+cos^2θ)^2-2*(sin^2θ)*(cos^2θ)=1-(1/2)*(sin2θ)^2。 0≦2θ≦2πから、-1≦sin2θ≦1より 1/2≦y≦3/2。 最大値は 2θ=3π/2、最小値は 2θ=π/2の時。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

cos^2 θ = t sin^4 θ = (sin^2 θ)^2 = (1-t)^2 ということですよね? >>>t=-1の時に最大値5になったのですが t = cos^2 θ です。 果たして、tは-1になることができるでしょうか? sin^4 θ + cos^4 θ = (1-t)^2 + t^2  = 2t^2 - 2t + 1  = 2(t^2 - t) + 1  = 2(t^2 - t + 1/4) - 1/2 + 1  = 2(t - 1/2)^2 + 1/2 ・ t=1/2 のとき最小で、最小値は1/2 ・ 0≦t≦1 であるから、かっこの中を注目すると、   t=0か1 のとき最大で、最大値は1 最後に、 t=1/2、t=0か1 が、0≦θ≦180 に入っているかを確認。 t=1/2のとき cosθ = 1/√2 → 第1象限にある→OK t=0のとき、cosθ = 1 → θ=90 のときである→OK なお、私はときどき計算ミスをするので、上記は検証してください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 三角比の問題

    sinθ+cosθ=(√3-1)/2 90°<θ<180°のときsinθcosθ,(sin^3)θ+(cos^3)θ, 〚・・以下問題省略〛の値を求めよ。 なんですが、条件式を平方して展開して解答を出す。3乗は因数分解または式変形で解くことは いいのですが、 もし、条件式から、sinθ+cosθ=√3/2 -1/2 と考えて,恒等式のように, sinθ=√3/2 ,cosθ=-1/2 としてしまい計算しても答えは同じになります。 これでもいいのでしょうか?

  • 二次関数の最大最小と三角比の問題

    (二次関数の最大と最小) y=x^2+2bx+6+2bの最小値が最大値になるときb=□のときで、その値は,□である。 私がわからないのは問題文の「最小値が最大値になる」という問題の意味がわかりません。 (三角比) 1/1+tan^2θ(1/1-sinθ+1/1+sinθ)の値を求めよ 自分はまず1/1+tan^2θをcos^2θに直しこれを1-sin^2θにしたのですが答えが出ませんでした。どういうふうに変形すればいいのでしょうか?

  • 三角関数 最大値最小値 合成

    関数y=sin2θ+2(sinθ+cosθ)-1 について、θの範囲は0≦θ<2πである。 k=sinθ+cosθと置くとき、yをkの式で表し kの取りうる値の範囲とyの最大値最小値 その時のθの値を求めよ。 途中までは考えれました。 合っているかは分かりませんが y=k2乗+2k-2 この問題教えてください

  • 三角比の応用問題について

    (sinθ-cosθ)/(sinθ+cosθ)=2+√3 0°<θ<180°のとき、θの値を求めよという高1の問題です。 「θを求めよ」という問題なので、sinθやcosθが特別な値で出てくると思っていましたが、計算ミスなのか全く違う値になってしまいました。 考え方自体が間違っているのか、計算ミスなのかということだけでもご回答いただけたらと思い、質問させていただきました。 両辺を平方して、 (1-2sinθcosθ)/(1+2sinθcosθ)=12 1-2sinθcosθ=12+24sinθcosθ sinθcosθ=-11/26 1+2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)^2=2/13 sinθ+cosθ=√(2/13) 1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ)^2=24/13 sinθ-cosθ=(2√6)/√13 (sinθ+cosθ)+(sinθ-cosθ) =2sinθ =√(2/13)+(2√6)/√13 ={(√2)+(2√6)}/√13 ∴sinθ={(√26)+(2√78)}/26 θを電卓で計算すると61.102...度になりました。 これは明らかに間違っていると思うのですが、何がおかしいのか分からないのです。 どなたかお回答をお願いいたします。

  • 三角関数の最大最小 合成の利用について質問です。

    y=sin(θ+5/6π)-cosθ   この関数の最大最小値を求めよ。ただし 0≦θ≦πとする。 これを計算していくと、-1≦sin(θ+7/6π)≦1/2 になるらしいのですが、なぜ1/2がでてくるのかわかりません。 全部の解答とともに教えて頂けるとありがたいです。 よろしくお願いします。

  • 三角比で

    「0°≦θ≦180°とする。sinθ=2/3のとき、cosθ、tanθの値を求めなさい。」という問題があって 解答では  θの範囲が0°≦θ≦90°の時cosθ≧0だから・・・・と90°<θ≦180°の時cosθ<0だから・・・・とあったのですが、sinはy座標なので、しかも2/3だと題意では言ってるから、θの範囲が0°も含むとsinの値(y座標)は0になっていしまいますし、180°も含むとこれまたsinの値(y座標)は0になってしまうし、90°も含むとsinは1になってしまうから 0°<θ<90°と90°<θ<180°ではないのでしょうか?

  • 三角関数の最大と最小(数学II)

    御世話になっております。 次の問 0≦θ<2πで、関数 y=sin^2θ-cosθの最大と最小を求め、その時のθの値を求めろ。 についてですが、二次関数に置き換えるために、sinやcosを一文字で表す方法を使う事は出来ますか?当方の未熟な考えでは、実際に0から2πの範囲で与式を計算し、yの値を求める方法しか思い付きません。性質を使って、sinかcosのどちらかに統一することが出来るかなぁと思ったのですが… 解き方のヒントだけいただきたいです。宜しくお願い致します。

  • 三角関数の最大最小についての問題

    関数の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めよ。ただし0≦θ<2πとする。 y=2tan^2θ+4tanθ+5 自分の解答) tanθ=xとおくと、範囲は-1≦x≦1。 y=2x^2+4x+5 y=2(x+1)^2+3 頂点(-1、3) 軸x=-1 よって x=1のとき最大値11 x=-1のとき最小値3 ここでグラフと範囲から最大値・最小値を出したのですが、 答えでは最大値はなしになっていました。 範囲が間違っているのでしょうか、ご指摘宜しくお願いします。

  • 三角関数の最大値・最小値について教えてください

    0≦θ<2πのとき、次の関数の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めよ。 (1)y=sinθ-cosθ (2)y=3sinθ+√3cosθ という問題なのですが、参考書を見ても解き方がわかりません。。 数学が苦手なので詳しく教えていただけるとうれしいです。

  • 三角関数の最大・最小の問題がわかりません

    0≦θ<2πのとき、y=sin2θ+√2sinθ+√2cosθ-2とする。 x=sinθ+cosθとおくと、2sinθcosθ=x^2-1であるから y=x^2+√2 x-3である。 ここで、x=√2 sin(θ+π/4)であるから、xのとりうる値の範囲は-√2≦x≦√2である。 ここまではわかりました、何か間違っていたら教えてください。ここからがわかりません。 したがって、yはθ=π/ア のとき、最大値イをとり、 θ=ウπ、エπのとき最小値オをとる。 解法お願いします。