数学III・Cの宿題教えてください!

質問

数学の宿題で、どうしても分からない問題があります。教えてください。よろしくお願いします。

座標平面において原点を中心とする半径1の円をC1とし、点(1,0)を中心とする半径3の円をC2とする。
動点PはC1上を反時計回りに1秒間に2回転の速さで等速円運動をし、動点QはC2上を反時計回りに1秒間に1回転の速さで等速円運動をしている。
時刻t=0のとき、Pは(0,1)にあり、Qは(4,0)にあるものとする。2点P,Q間の距離の2乗の最大値と最小値、およびそれらをとるP,Qの座標を求めよ。

回答No.1

JOUNIN · ベストアンサー

P,Qの角速度はP:4π、Q:2πであるから、
P(cos(4πt+π/2),sin(4πt+π/2))
∴P(-sin(4πt),cos(4πt))
Q(3cos(2πt)+1,3sin(2πt))
とおける
2πt=θとおけば
P(-sin2θ,cos2θ)、Q(3cosθ+1,3sinθ)
となる
∴PQ^2
=(-sin2θ-3cosθ-1)^2+(cos2θ-3sinθ)^2
=(sin2θ)^2+9(cosθ)^2+1+6sin2θcosθ+6cosθ+2sin2θ+(cos2θ)^2-6cos2θsinθ+9(sinθ)^2
=11+6(sin2θcosθ-cos2θsinθ)+6cosθ+2sin2θ
=11+6sinθ+6cosθ+2sin2θ
=6(sinθ+cosθ)+4sinθcosθ+11…(*)

sinθ+cosθ=X,sinθcosθ=Yとおくと
(sinθ)^2+(cosθ)^2
=(sinθ+cosθ)^2-2sinθcosθ
=X^2-2Y=1
∴Y=(X^2-1)/2

(*)
=6X+4Y+11
=6X+2(X^2-1)+11
=2(X+3/2)^2+9/2(=g(X)とおく)

ここで
X=√2(sin(θ+π/4))
より-√2≦X≦√2
これを考慮して

PQ^2(max)=g(√2)=13+6√2
X=√2よりθ=π/4
∴P(-1,0)、Q((3√2+2)/2,3√2/2)

PQ^2(min)=g(-√2)=13-6√2
X=-√2よりθ=5π/4
∴P(-1,0)、Q((-3√2+2)/2,-3√2/2)

計算ミスしていましたら申し訳ないです

お礼

ありがとうございます！
助かりました。