数学座標、最小値

質問

点Oを原点とする座標平面において、中心がOで半径2の円と半径1の円をそれぞれC1,C2とする。角θの動径と円C1との交点をＰとし3/2π-2θの動径と円C2との交点をＱとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はX軸の正の部分とする。また、θのとり得る値の範囲は0≦θ<2πとする。
(1)θ=π/3とき、点P,Qの座標はP(ア、イ),Q(ウ√エ/オ、カ/キ)である。

(2)線分PQの長さの最小値はクであり、そのときのθの値は小さい順に
π/ケ、コ/サπ、シス/セπである。

全くわかりません。詳しい説明と一緒に解答をお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

少し基本的なところから入りましょうか。必ず図を描きながら
考えてみて下さい。
　その前に、3/2πー２Θというのは「三分の二パイ引く２
シータ」ですよね。だったら　３π／２－２Θと書かないと
πが分母にあるのか分子にあるのかはっきりしませんよ。
ＰＣで分数を表すのは面倒ですね。

（１）
動径の長さが１で、その動径とｘ軸の正の部分がなす角をα
とします。その同径と円の交点をRとすると、Rの座標は
（ｃｏｓα、ｓｉｎα）　です。これは三角関数の定義のところ
で出てくると思います。
　では動径の長さが２だったらどうなるかというと、
（２ｃｏｓα、２ｓｉｎα）　ですね。
　これを一般化すると、動径の長さをｒとすると、点Ｒの座標は
（ｒｃｏｓα、ｒｓｉｎα）　であらわされることになります。

したがって、この問題の点ＰおよびＱの座標はそれぞれ
（２ｃｏｓΘ、２ｓｉｎΘ）
（ｃｏｓ（３π／２－２Θ、ｓｉｎ（３π／２－２Θ））
となります。あとはΘ＝π／３を代入するだけです。

（２）
証明までは要らないと思うのですが、ＰＱの長さが最少になる
のは二つの動径が重なるときです。このときＰＱの長さは動径
の長さの差、つまり１です。

二つの動径がｘ軸となす角が同じになればいいわけです。よって
Θ＝３π／２－２Θ　・・・（あ）
とすればいいのですが、実はこれだけではありません。角度と
いうのはぐるっと一周回っても同じになります。言い換えると
Θという角度とΘ＋２πという角度はｘ軸とのなす角という
意味では同じ角度です。同様にΘー２π、Θ＋４π、Θー４π
なども同じことになります。よって（あ）に加えて
Θ－２π＝３π／２－２Θ
Θ＋４π＝３π／２－２Θ
Θー４π＝３π／２－２Θ
なども考慮する必要があります。これらを解いて、Θの範囲が
問題文の条件に合うものを解として下さい。

お礼

とても丁寧な説明でありがとうございました。年をとって数学を始めましたので中々内容が読み取れませんがこの様話かけられた様な説明でとてもよく理解でき感謝しています。これからもがんばって数学の問題を解いて見ます。解答側にまわれるようにと思いました。本当にありがとうございました。